Izvođenje formule za površinu konusa. Primjer rješenja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Proučavanje svojstava prostornih figura igra važnu ulogu u rješavanju praktičnih problema. Nauka koja se bavi figurama u svemiru naziva se stereometrija. U ovom članku, sa stanovišta čvrste geometrije, razmotrit ćemo konus i pokazati kako pronaći površinu konusa.

konus sa okruglom bazom

U opštem slučaju, konus je površina izgrađena na nekoj ravni krivulji, čije su sve tačke povezane segmentima sa jednom tačkom u prostoru. Potonji se naziva vrh konusa.

Iz gornje definicije, jasno je da kriva može imati proizvoljan oblik, kao što je parabolični, hiperbolični, eliptični i tako dalje. Ipak, u praksi i problemima iz geometrije često se susreće okrugli konus. To je prikazano na slici ispod.

Ovde simbol r označava poluprečnik kruga koji se nalazi u osnovi figure, h je okomita na ravan kružnice, koja je povučena od vrha figure. To se zove visina. Vrijednost s je generatriksa konusa, ili njegova generatriksa.

Može se vidjeti da su segmenti r, h i sformiraju pravougaoni trougao. Ako se rotira oko kraka h, tada će hipotenuza s opisivati stožastu površinu, a krak r čini okruglu osnovu figure. Iz tog razloga, konus se smatra figurom revolucije. Tri imenovana linearna parametra su međusobno povezana jednakošću:

s²=r²+ h²

Primjetite da data jednakost vrijedi samo za okrugli ravan konus. Prava figura je samo ako njena visina pada tačno u centar osnovnog kruga. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada se figura naziva koso. Razlika između ravnih i kosih čunjeva prikazana je na slici ispod.

Razvoj oblika

Proučavanje površine konusa je zgodno za izvođenje, s obzirom na to da je u ravnini. Ovakav način predstavljanja površine figura u prostoru naziva se njihov razvoj. Za konus se ovaj razvoj može dobiti na sljedeći način: trebate uzeti figuru napravljenu, na primjer, od papira. Zatim makazama odrežite okruglu podlogu po obodu. Nakon toga, duž generatrikse, napravite rez na konusnoj površini i okrenite je u ravninu. Rezultat ovih jednostavnih operacija će biti razvoj konusa, prikazan na slici ispod.

Kao što vidite, površina konusa se zaista može predstaviti na ravni. Sastoji se iz sljedeća dva dijela:

• krug sa radijusom r koji predstavlja osnovu figure;
• kružni sektor sa radijusom g, koji je konusna površina.

Formula za površinu konusa uključuje pronalaženje površina obje nesavijene površine.

Izračunajte površinu figure

Podijelimo zadatak u dvije faze. Prvo nalazimo površinu osnove stošca, zatim površinu stožaste površine.

Prvi dio problema je lako riješiti. Pošto je poluprečnik r dat, dovoljno je da se prisjetimo odgovarajućeg izraza za površinu kruga da bismo izračunali površinu baze. Hajde da to zapišemo:

S_o=pi × r²

Ako poluprečnik nije poznat, prvo ga treba pronaći koristeći formulu odnosa između njega, visine i generatora.

Drugi dio problema pronalaženja površine konusa je nešto složeniji. Imajte na umu da je kružni sektor izgrađen na polumjeru g generatrike i omeđen lukom čija je dužina jednaka obimu kružnice. Ova činjenica vam omogućava da zapišete proporciju i pronađete ugao razmatranog sektora. Označimo ga grčkim slovom φ. Ovaj ugao će biti jednak:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Poznavajući centralni ugao φ kružnog sektora, možete koristiti odgovarajuću proporciju da pronađete njegovu površinu. Označimo ga simbolom S_b. Bit će jednako:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Odnosno, površina konične površine odgovara proizvodu generatrike g, poluprečnika baze r i broja Pi.

Znajući koja su područja obarazmatrane površine, možemo napisati konačnu formulu za površinu stošca:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Pisani izraz pretpostavlja poznavanje dva linearna parametra konusa za izračunavanje S. Ako je g ili r nepoznato, onda se mogu pronaći preko visine h.

Problem izračunavanja površine konusa

Poznato je da je visina okruglog pravog konusa jednaka njegovom prečniku. Potrebno je izračunati površinu figure, znajući da je površina njene osnove 50 cm².

Znajući površinu kruga, možete pronaći radijus figure. Imamo:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Sada pronađimo generator g u terminima h i r. Prema uslovu, visina h figure je jednaka dva radijusa r, tada je:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Pronađene formule za g i r treba zamijeniti u izraz za cijelu površinu konusa. Dobijamo:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

U rezultirajući izraz zamjenjujemo površinu baze S_o i zapisujemo odgovor: S ≈ 161,8 cm².