figurama revolucije u geometriji se pridaje posebna pažnja prilikom proučavanja njihovih karakteristika i svojstava. Jedan od njih je skraćeni konus. Ovaj članak ima za cilj odgovoriti na pitanje kojom se formulom može izračunati površina krnjeg konusa.
O kojoj cifri govorimo?
Prije opisivanja površine krnjeg konusa, potrebno je dati tačnu geometrijsku definiciju ove figure. Skraćeni je takav konus, koji se dobiva kao rezultat odsijecanja vrha običnog konusa ravninom. U ovoj definiciji treba naglasiti niz nijansi. Prvo, ravnina presjeka mora biti paralelna s ravninom osnove konusa. Drugo, originalna figura mora biti kružni konus. Naravno, to može biti eliptična, hiperbolična i druga vrsta figure, ali u ovom članku ćemo se ograničiti na razmatranje samo kružnog konusa. Ovo posljednje je prikazano na slici ispod.
Lako je pogoditi da se može dobiti ne samo uz pomoć presjeka avionom, već i uz pomoć operacije rotacije. ZaDa biste to učinili, trebate uzeti trapez koji ima dva prava ugla i zarotirati ga oko strane koja je susjedna ovim pravim uglovima. Kao rezultat toga, osnove trapeza će postati poluprečnici osnova krnjeg konusa, a bočna nagnuta strana trapeza će opisivati konusnu površinu.
Razvoj oblika
S obzirom na površinu krnjeg konusa, korisno je donijeti njegov razvoj, odnosno sliku površine trodimenzionalne figure na ravni. Ispod je skeniranje proučavane figure sa proizvoljnim parametrima.
Može se vidjeti da područje figure čine tri komponente: dva kruga i jedan skraćeni kružni segment. Očigledno, da bi se odredila potrebna površina, potrebno je sabrati površine svih imenovanih figura. Hajde da riješimo ovaj problem u sljedećem pasusu.
Oblast skraćenog konusa
Da bismo lakše razumjeli sljedeće rezonovanje, uvodimo sljedeću notaciju:
- r1, r2 - radijusi velike i male baze;
- h - visina figure;
- g - generatrisa konusa (dužina kose strane trapeza).
Površinu osnova krnjeg konusa je lako izračunati. Napišimo odgovarajuće izraze:
So1=pir12;
So2=pir22.
Površinu dijela kružnog segmenta je nešto teže odrediti. Ako zamislimo da centar ovog kružnog sektora nije izrezan, tada će njegov polumjer biti jednak vrijednosti G. Nije teško izračunati ako uzmemo u obzir odgovarajućislični pravokutni konusni trouglovi. Jednako je:
G=r1g/(r1-r2).
Tada će površina cijelog kružnog sektora, koji je izgrađen na radijusu G i koji se oslanja na luk dužine 2pir1, biti jednak na:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Sada odredimo površinu malog kružnog sektora S2, koji će se morati oduzeti od S1. Jednako je:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Površina konusno skraćene površine Sb jednaka je razlici između S1 i S 2. Dobijamo:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Uprkos nekim glomaznim proračunima, dobili smo prilično jednostavan izraz za površinu bočne površine figure.
Sabiranjem površina baza i Sb, dolazimo do formule za površinu skraćenog konusa:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Dakle, da biste izračunali vrijednost S proučavane figure, morate znati njena tri linearna parametra.
Primjer problema
Kružni ravan konuspolumjera 10 cm i visine 15 cm odsječena je ravninom tako da se dobija pravilan skraćeni konus. Znajući da je rastojanje između osnova skraćene figure 10 cm, potrebno je pronaći njegovu površinu.
Da biste koristili formulu za područje skraćenog konusa, morate pronaći tri njegova parametra. Jedan kojeg poznajemo:
r1=10 cm.
Druga dva je lako izračunati ako uzmemo u obzir slične pravokutne trouglove, koji su dobijeni kao rezultat aksijalnog presjeka konusa. Uzimajući u obzir stanje problema, dobijamo:
r2=105/15=3,33 cm.
Konačno, vodič krnjeg konusa g će biti:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Sada možete zamijeniti vrijednosti r1, r2 i g u formulu za S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Željena površina figure je približno 852 cm2.
