Geometrija je grana matematike koja proučava strukture u prostoru i odnos između njih. Zauzvrat, on se također sastoji od odjeljaka, a jedan od njih je stereometrija. Omogućava proučavanje svojstava volumetrijskih figura koje se nalaze u prostoru: kocke, piramide, lopte, konusa, cilindra, itd.
Konus je tijelo u Euklidskom prostoru koje omeđuje konusnu površinu i ravan na kojoj leže krajevi njegovih generatora. Njegovo formiranje nastaje u procesu rotacije pravougaonog trougla oko bilo kojeg od njegovih krakova, stoga pripada tijelima revolucije.
konusne komponente
Razlikuju se sljedeće vrste čunjeva: kosi (ili kosi) i ravni. Kosa je ona čija se osa seče sa središtem njene osnove ne pod pravim uglom. Iz tog razloga, visina u takvom konusu ne poklapa se sa osom, jer je to segment koji se spušta od vrha tijela do njegove ravni.baza na 90°.
Taj konus, čija je osa okomita na njegovu osnovu, naziva se pravi konus. Os i visina u takvom geometrijskom tijelu se poklapaju zbog činjenice da se vrh u njemu nalazi iznad centra prečnika baze.
Konus se sastoji od sljedećih elemenata:
- Krug koji je njegova osnova.
- Side.
- Tačka koja ne leži u ravni baze, a naziva se vrh konusa.
- Segmenti koji povezuju tačke kruga osnove geometrijskog tijela i njegovog vrha.
Svi ovi segmenti su generatrice konusa. Oni su nagnuti prema osnovici geometrijskog tijela, a u slučaju pravog konusa su im projekcije jednake, jer je vrh jednako udaljen od tačaka osnovne kružnice. Dakle, možemo zaključiti da su u pravilnom (ravnom) konusu generatori jednaki, odnosno da imaju istu dužinu i formiraju iste uglove sa osom (ili visinom) i bazom.
Budući da je u kosom (ili nagnutom) tijelu rotacije vrh pomaknut u odnosu na centar osnovne ravni, generatori u takvom tijelu imaju različite dužine i projekcije, budući da je svaki od njih na različitoj udaljenosti iz bilo koje dvije tačke osnovne kružnice. Osim toga, uglovi između njih i visina konusa će također biti različiti.
Dužina generatora u desnom konusu
Kao što je ranije napisano, visina u ravnom geometrijskom tijelu okretanja je okomita na ravan baze. Dakle, generatriksa, visina i poluprečnik osnove stvaraju pravougaoni trougao u konusu.
To jest, znajući poluprečnik osnove i visinu, koristeći formulu iz Pitagorine teoreme, možete izračunati dužinu generatrike, koja će biti jednaka zbroju kvadrata poluprečnika baze i visina:
l2 =r2+ h2 ili l=√r 2 + h2
gdje je l generatriksa;
r – radijus;
h – visina.
Generativ u kosom konusu
Na osnovu činjenice da u kosom ili kosom konusu generatori nisu iste dužine, neće ih biti moguće izračunati bez dodatnih konstrukcija i proračuna.
Pre svega, morate znati visinu, dužinu ose i poluprečnik osnove.
Posjedujući ove podatke, možete izračunati dio polumjera koji leži između ose i visine, koristeći formulu iz Pitagorine teoreme:
r1=√k2 - h2
gdje je r1 dio poluprečnika između ose i visine;
k – dužina osovine;
h – visina.
Kao rezultat dodavanja polumjera (r) i njegovog dijela koji leži između ose i visine (r1), možete saznati punu stranu desne trokut formiran od generatrike stošca, njegove visine i dijela prečnika:
R=r + r1
gdje je R krak trougla formiran visinom, generatricom i dijelom prečnika baze;
r – osnovni radijus;
r1 – dio poluprečnika između ose i visine.
Koristeći istu formulu iz Pitagorine teoreme, možete pronaći dužinu generatrise konusa:
l=√h2+ R2
ili, bez posebnog izračunavanja R, kombinujte dvije formule u jednu:
l=√h2 + (r + r1)2.
Uprkos tome da li se radi o ravnom ili kosom konusu i o kakvoj vrsti ulaznih podataka, sve metode za pronalaženje dužine generatrike uvijek se svode na jedan rezultat - korištenje Pitagorine teoreme.
konusni dio
Aksijalni presjek konusa je ravan koja prolazi duž njegove ose ili visine. U desnom konusu, takav presjek je jednakokraki trokut, u kojem je visina trokuta visina tijela, njegove stranice su generatori, a baza je prečnik baze. U jednakostraničnom geometrijskom tijelu, aksijalni presjek je jednakostraničan trokut, pošto su u ovom konusu prečnik osnove i generatora jednaki.
Ravan aksijalnog preseka u ravnom konusu je ravan njegove simetrije. Razlog tome je što je njegov vrh iznad centra njegove osnove, odnosno ravan aksijalnog preseka deli konus na dva identična dela.
Pošto se visina i osa ne poklapaju u nagnutom čvrstom tijelu, ravan aksijalnog presjeka možda ne uključuje visinu. Ako je moguće konstruirati skup aksijalnih presjeka u takvom konusu, pošto se za to mora poštovati samo jedan uvjet - mora proći samo kroz osu, onda samo jedan aksijalni presjek ravni, koji će pripadati visini ovaj stožac, može se nacrtati, jer se broj uslova povećava, a, kao što je poznato, dvije prave (zajedno) mogu pripadatisamo jedan avion.
Oblast sekcije
Aksijalni presjek konusa spomenutog ranije je trokut. Na osnovu toga, njegova površina se može izračunati pomoću formule za površinu trokuta:
S=1/2dh ili S=1/22rh
gdje je S površina poprečnog presjeka;
d – prečnik baze;
r – radijus;
h – visina.
U kosom ili kosom konusu, presjek duž ose je također trokut, pa se površina poprečnog presjeka u njemu izračunava na sličan način.
volumen
Pošto je konus trodimenzionalna figura u trodimenzionalnom prostoru, možemo izračunati njegovu zapreminu. Zapremina konusa je broj koji karakteriše ovo tijelo u jedinici zapremine, odnosno u m3. Proračun ne zavisi od toga da li je pravo ili koso (koso), jer se formule za ova dva tipa tijela ne razlikuju.
Kao što je ranije rečeno, do formiranja pravog konusa dolazi zbog rotacije pravouglog trougla duž jedne od njegovih krakova. Kosi ili kosi konus se formira drugačije, jer je njegova visina pomjerena od središta osnovne ravnine tijela. Međutim, takve razlike u strukturi ne utiču na metodu izračunavanja njegovog volumena.
Izračun zapremine
Formula za zapreminu bilo kojeg konusa izgleda ovako:
V=1/3πhr2
gdje je V volumen konusa;
h – visina;
r – radijus;
π - konstanta jednaka 3, 14.
Da biste izračunali zapreminu konusa, morate imati podatke o visini i poluprečniku osnove tela.
Da biste izračunali visinu tijela, morate znati poluprečnik osnove i dužinu njegove generatrise. Pošto su poluprečnik, visina i generatriksa kombinovani u pravougaoni trokut, visina se može izračunati pomoću formule iz Pitagorine teoreme (a2+ b2=c 2 ili u našem slučaju h2+ r2=l2 , gdje je l - generatriksa). U ovom slučaju, visina će se izračunati izvlačenjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka:
a=√c2- b2
Odnosno, visina konusa će biti jednaka vrijednosti dobijenoj nakon vađenja kvadratnog korijena iz razlike kvadrata dužine generatrike i kvadrata polumjera baze:
h=√l2 - r2
Izračunavajući visinu koristeći ovu metodu i znajući poluprečnik njene osnove, možete izračunati zapreminu konusa. U ovom slučaju, generatriksa igra važnu ulogu, jer služi kao pomoćni element u proračunima.
Slično, ako znate visinu tijela i dužinu njegove generatrike, možete pronaći polumjer njegove baze tako što ćete izvući kvadratni korijen razlike između kvadrata generatrike i kvadrata visine:
r=√l2 - h2
Zatim, koristeći istu formulu kao gore, izračunajte zapreminu konusa.
Zapremina kosog konusa
Pošto je formula za zapreminu stošca ista za sve tipove obrtnog tela, razlika u njenom izračunavanju je traženje visine.
Da bi se saznala visina nagnutog konusa, ulazni podaci moraju uključivati dužinu generatrike, polumjer baze i udaljenost između centraosnovicu i presek visine tela sa ravninom njegove osnove. Znajući ovo, lako možete izračunati dio prečnika baze, koji će biti osnova pravokutnog trougla (formiranog od visine, generatriksa i ravnine baze). Zatim, ponovo koristeći Pitagorinu teoremu, izračunajte visinu konusa, a potom i njegovu zapreminu.
