Jedna od figura koja se javlja prilikom rješavanja geometrijskih problema u prostoru je konus. On, za razliku od poliedara, pripada klasi figura rotacije. Razmotrimo u članku šta se pod njim podrazumijeva u geometriji i istražimo karakteristike različitih presjeka stošca.
konus u geometriji
Pretpostavimo da postoji neka kriva na ravni. To može biti parabola, kružnica, elipsa i tako dalje. Uzmite tačku koja ne pripada navedenoj ravni i povežite sve tačke krive sa njom. Rezultirajuća površina naziva se konus ili jednostavno konus.
Ako je originalna kriva zatvorena, tada se konusna površina može ispuniti materijom. Ovako dobijena figura je trodimenzionalno tijelo. Naziva se i konus. Nekoliko papirnih konusa je prikazano ispod.
Konična površina se nalazi u svakodnevnom životu. Na primjer, kornet sladoleda ili prugasti kornet ima ovaj oblik, koji je dizajniran da privuče pažnju vozača ipješaci.
Vrste čunjeva
Kao što možete pretpostaviti, brojke koje se razmatraju razlikuju se jedna od druge po vrsti krive na kojoj su formirane. Na primjer, postoji okrugli konus ili eliptični. Ova kriva se naziva baza figure. Međutim, oblik baze nije jedina karakteristika koja omogućava klasifikaciju čunjeva.
Druga važna karakteristika je položaj visine u odnosu na bazu. Visina konusa je segment prave linije, koji je spušten od vrha figure do ravni osnove i okomit je na ovu ravan. Ako visina siječe bazu u geometrijskom centru (na primjer, u središtu kruga), konus će biti ravan, ako okomit segment padne na bilo koju drugu točku baze ili izvan nje, tada će lik biti koso.
Dalje u članku ćemo razmatrati samo okrugli pravi konus kao svijetli predstavnik razmatrane klase figura.
Geometrijski nazivi konusnih elemenata
Gore je rečeno da konus ima osnovu. Omeđena je kružnicom, koja se naziva vodilica konusa. Segmenti koji povezuju vodilicu sa tačkom koja ne leži u ravni baze nazivaju se generatori. Skup svih tačaka generatora naziva se konusna ili bočna površina figure. Za okrugli desni konus, svi generatori imaju istu dužinu.
Tačka u kojoj se sijeku generatori naziva se vrh figure. Za razliku od poliedara, konus ima jedan vrh i brrub.
Prava linija koja prolazi kroz vrh figure i centar kruga naziva se osa. Osa sadrži visinu pravog konusa, tako da formira pravi ugao sa ravninom osnove. Ova informacija je važna kada se izračunava površina aksijalnog presjeka konusa.
Okrugli pravi konus - figura rotacije
Razmatrani konus je prilično simetrična figura, koja se može dobiti kao rezultat rotacije trougla. Pretpostavimo da imamo trougao sa pravim uglom. Da biste dobili konus, dovoljno je rotirati ovaj trougao oko jedne od krakova kao što je prikazano na slici ispod.
Može se vidjeti da je osa rotacije osa konusa. Jedna od nogu bit će jednaka visini figure, a druga noga će postati polumjer baze. Hipotenuza trokuta kao rezultat rotacije će opisati stožastu površinu. To će biti generatriksa konusa.
Ova metoda dobijanja okruglog pravog konusa pogodna je za proučavanje matematičke veze između linearnih parametara figure: visine h, polumjera okrugle osnove r i vodilice g. Odgovarajuća formula slijedi iz svojstava pravokutnog trokuta. Naveden je ispod:
g2=h2+ r2.
Pošto imamo jednu jednačinu i tri varijable, to znači da za jedinstveno postavljanje parametara okruglog konusa morate znati bilo koje dvije veličine.
Presjeci konusa ravninom koja ne sadrži vrh figure
Pitanje konstruisanja preseka figure nijetrivijalan. Činjenica je da oblik presjeka stošca po površini zavisi od relativnog položaja figure i sekante.
Pretpostavimo da konus siječemo ravninom. Šta će biti rezultat ove geometrijske operacije? Opcije oblika presjeka prikazane su na slici ispod.
Ružičasti dio je krug. Nastaje kao rezultat presjeka figure s ravninom koja je paralelna s osnovom konusa. To su presjeci okomiti na osu figure. Figura formirana iznad rezne ravni je konus sličan originalnom, ali ima manji krug u osnovi.
Zeleni dio je elipsa. Dobiva se ako rezna ravnina nije paralelna sa bazom, već samo siječe bočnu površinu konusa. Figura odsečena iznad ravni naziva se eliptični kosi konus.
Plava i narandžasta sekcija su parabolična, odnosno hiperbolična. Kao što možete vidjeti sa slike, oni se dobijaju ako rezna ravan istovremeno siječe bočnu površinu i osnovu figure.
Da bi se odredile površine presjeka konusa koje su razmatrane, potrebno je koristiti formule za odgovarajuću figuru na ravni. Na primjer, za krug, ovo je broj Pi pomnožen s kvadratom polumjera, a za elipsu, ovo je proizvod Pi i dužine male i velike poluosi:
krug: S=pir2;
elipsa: S=piab.
Sekcije koje sadrže vrh konusa
Sada razmotrite opcije za presjeke koje nastaju ako je rezna ravanproći kroz vrh konusa. Moguća su tri slučaja:
- Odeljak je jedna tačka. Na primjer, ravan koja prolazi kroz vrh i paralelna je sa bazom daje upravo takav presjek.
- Odeljak je ravna linija. Ova situacija se događa kada je ravnina tangenta na konusnu površinu. Prava linija presjeka u ovom slučaju će biti generatriksa konusa.
- Aksijalni presjek. Nastaje kada ravan sadrži ne samo vrh figure, već i cijelu njegovu os. U ovom slučaju, ravan će biti okomita na okruglu osnovu i podijelit će konus na dva jednaka dijela.
Očigledno je da su površine prva dva tipa sekcija jednake nuli. Što se tiče površine poprečnog presjeka konusa za 3. tip, ovo pitanje je detaljnije razmotreno u sljedećem paragrafu.
Aksijalni presjek
Gore je napomenuto da je aksijalni presjek konusa figura koja nastaje kada se konus preseče ravninom koja prolazi kroz njegovu osu. Lako je pretpostaviti da će ovaj dio predstavljati figuru prikazanu na slici ispod.
Ovo je jednakokraki trougao. Vrh aksijalnog presjeka stošca je vrh ovog trougla, formiranog presjekom identičnih stranica. Potonji su jednaki dužini generatrise konusa. Osnova trougla je prečnik osnove konusa.
Izračunavanje površine aksijalnog presjeka konusa svodi se na pronalaženje površine rezultirajućeg trokuta. Ako su poluprečnik osnove r i visina h konusa inicijalno poznati, tada će površina S presjeka koji se razmatra biti:
S=hr.
Ovoizraz je posljedica primjene standardne formule za površinu trokuta (polovina proizvoda visine pomnožena osnovica).
Imajte na umu da ako je generatriksa konusa jednaka prečniku njegove okrugle osnove, tada je aksijalni presjek konusa jednakostraničan trokut.
Trouglasti presjek se formira kada je rezna ravan okomita na osnovu konusa i prolazi kroz njegovu osu. Svaka druga ravan paralelna sa imenovanom daće hiperbolu u preseku. Međutim, ako ravan sadrži vrh konusa i siječe njegovu osnovu ne kroz prečnik, tada će rezultujući presjek također biti jednakokraki trokut.
Problem određivanja linearnih parametara konusa
Pokažimo kako koristiti formulu napisanu za područje aksijalnog presjeka za rješavanje geometrijskog problema.
Poznato je da je površina aksijalnog presjeka konusa 100 cm2. Dobijeni trokut je jednakostraničan. Kolika je visina stošca i poluprečnik njegove osnove?
Pošto je trokut jednakostraničan, njegova visina h povezana je sa dužinom stranice a na sljedeći način:
h=√3/2a.
S obzirom da je stranica trokuta dvostruko veća od polumjera osnove konusa, i zamjenom ovog izraza u formulu za površinu poprečnog presjeka, dobijamo:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Tada je visina konusa:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Ostaje zamijeniti vrijednost površine iz stanja problemai dobijete odgovor:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
U kojim oblastima je važno znati parametre razmatranih sekcija?
Proučavanje različitih tipova konusnih presjeka nije samo od teoretskog interesa, već ima i praktične primjene.
Prvo, treba istaći oblast aerodinamike, gde je uz pomoć konusnih preseka moguće kreirati idealne glatke oblike čvrstih tela.
Drugo, konusni presjeci su putanje duž kojih se svemirski objekti kreću u gravitacijskim poljima. Koja specifična sekcija predstavlja putanju kretanja kosmičkih tijela sistema određena je omjerom njihovih masa, apsolutnih brzina i udaljenosti između njih.
