Trougao je jedan od najčešćih geometrijskih oblika koji nam je već poznat u osnovnoj školi. Svaki učenik se suočava sa pitanjem kako pronaći površinu trougla na časovima geometrije. Dakle, koje se karakteristike pronalaženja površine date figure mogu razlikovati? U ovom članku ćemo razmotriti osnovne formule potrebne za obavljanje takvog zadatka, kao i analizirati vrste trokuta.
Vrste trouglova
Površinu trougla možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figure koja sadrži tri ugla. Ove vrste uključuju:
- Oštri trougao.
- pod uglom.
- Ekvilateralno (ispravno).
- Pravougli trougao.
- jednakokraki.
Hajde da pobliže pogledamo svaki od postojećih tipova trouglova.
Acutetrokut
Takva geometrijska figura se smatra najčešćom u rješavanju geometrijskih problema. Kada postane potrebno nacrtati proizvoljan trokut, ova opcija dolazi u pomoć.
U oštrom trouglu, kao što ime govori, svi uglovi su oštri i sabiraju do 180°.
trougao pod uglom
Ovaj trougao je takođe veoma čest, ali je nešto rjeđi od onog sa oštrim uglom. Na primjer, prilikom rješavanja trokuta (odnosno, znate nekoliko njegovih stranica i uglova i morate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li ugao tup ili ne. Kosinus tupog ugla je negativan broj.
U tupouglu, vrijednost jednog od uglova prelazi 90°, tako da preostala dva ugla mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15° ili čak 3°).
Da biste pronašli površinu trougla ovog tipa, morate znati neke nijanse o kojima ćemo kasnije.
Pravilni i jednakokraki trouglovi
Pravilan poligon je figura koja uključuje n uglova i sve strane i uglovi su jednaki. Ovo je pravougaoni trougao. Pošto je zbir svih uglova trougla 180°, svaki od tri ugla je 60°.
Pravilan trougao, zbog svoje osobine, naziva se i jednakostranični lik.
Takođe je vrijedno napomenuti da upravilan trougao može biti upisan samo jednom kružnicom i samo jedan krug može biti opisan oko njega, a njihovi centri se nalaze u jednoj tački.
Pored jednakostraničnog tipa, može se odabrati i jednakokraki trougao, koji se malo razlikuje od njega. U takvom trouglu dvije stranice i dva ugla su jednaki jedna drugoj, a treća stranica (kojoj graniče jednaki uglovi) je osnova.
Slika prikazuje jednakokraki trokut DEF, čiji su uglovi D i F jednaki, a DF je osnova.
Pravougli trougao
Pravougli trougao je nazvan tako jer je jedan od njegovih uglova pravi ugao, odnosno jednak 90°. Dodatna dva ugla su 90°.
Najveća stranica takvog trougla, koja leži nasuprot ugla od 90°, je hipotenuza, dok su druge dvije njegove stranice katete. Za ovu vrstu trouglova primjenjiva je Pitagorina teorema:
Zbir kvadrata dužina kateta jednak je kvadratu dužine hipotenuze.
Slika prikazuje pravougli trokut BAC sa hipotenuzom AC i kracima AB i BC.
Da biste pronašli površinu trougla sa pravim uglom, morate znati numeričke vrijednosti njegovih krakova.
Pređimo na formule za pronalaženje površine ove figure.
Osnovne formule područja
U geometriji postoje dvije formule koje su pogodne za pronalaženje površine većine tipova trouglova, odnosno za oštre, tupokutne, pravilne ijednakokraki trouglovi. Hajde da analiziramo svaki od njih.
Sa strane i visine
Ova formula je univerzalna za pronalaženje površine figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu stranice i dužinu povučene visine. Sama formula (pola proizvoda baze i visine) izgleda ovako:
S=½AH, gdje je A stranica datog trougla, a H visina trougla.
Na primer, da biste pronašli površinu trougla sa oštrim uglom ACB, morate pomnožiti njegovu stranu AB sa visinom CD i rezultujuću vrednost podeliti sa dva.
Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trougla na ovaj način. Na primjer, da biste koristili ovu formulu za tupokutni trokut, morate nastaviti jednu od njegovih stranica i tek nakon toga nacrtati na nju visinu.
U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.
Na dvije strane i ugao
Ova formula je, kao i prethodna, pogodna za većinu trouglova i po svom značenju je posledica formule za pronalaženje površine po strani i visini trougla. Odnosno, formula koja se razmatra može se lako izvesti iz prethodne. Njena formulacija izgleda ovako:
S=½sinOAB, gdje su A i B stranice trougla, a O je ugao između stranica A i B.
Podsjetimo da se sinus ugla može vidjeti u posebnoj tabeli nazvanoj po istaknutom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.
A sada idemo na druge formule,pogodno samo za izuzetne vrste trouglova.
Površina pravokutnog trougla
Pored univerzalne formule, koja uključuje potrebu za crtanjem visine u trokutu, površina trokuta koji sadrži pravi ugao može se naći po njegovim kracima.
Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi ugao je polovina proizvoda njegovih nogu, ili:
S=½ab, gdje su a i b kraci pravokutnog trougla.
pravilan trougao
Ova vrsta geometrijskih figura se razlikuje po tome što se njena površina može naći sa navedenom vrijednošću samo jedne od njenih stranica (pošto su sve stranice pravilnog trougla jednake). Dakle, nakon što ste se susreli sa zadatkom "pronaći površinu trokuta kada su stranice jednake", morate koristiti sljedeću formulu:
S=A2√3 / 4, gdje je A stranica jednakostraničnog trougla.
Heron's Formula
Posljednja opcija za pronalaženje površine trougla je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati dužine tri strane figure. Heronova formula izgleda ovako:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), gdje su a, b i c stranice ovog trougla.
Ponekad se daje zadatak: "površina pravilnog trougla - pronađite dužinu njegove stranice." U ovom slučaju morate koristiti već poznatu formulu za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njegovog kvadrata):
A2=4S / √3.
Problemi sa ispitom
U GIA zadacimaU matematici postoje mnoge formule. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.
U ovom slučaju, najpogodnije je nacrtati visinu jedne od strana figure, odrediti njenu dužinu po ćelijama i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje površine:
S=½AH.
Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.
