Trougao je poligon sa tri strane (tri ugla). Najčešće se stranice označavaju malim slovima, što odgovara velikim slovima koji označavaju suprotne vrhove. U ovom članku ćemo se upoznati sa vrstama ovih geometrijskih oblika, teoremom koja određuje koliki je zbir uglova trokuta.
Pogledi po uglovima
Razlikuju se sljedeće vrste poligona sa tri vrha:
- oštri kut, u kojem su svi uglovi oštri;
- pravougaonik, koji ima jedan pravi ugao, dok se stranice koje ga formiraju nazivaju kracima, a strana koja je postavljena suprotno od pravog ugla naziva se hipotenuza;
- tup kada je jedan ugao tup;
- jednakokraki, kod kojih su dvije stranice jednake, i zovu se bočne, a treća je osnova trougla;
- jednakostran, sa sve tri jednake strane.
Properties
Ističu glavna svojstva koja su karakteristična za svaku vrstu trougla:
- nasuprot veće strane uvijek postoji veći ugao, i obrnuto;
- suprotne strane jednake veličine su jednaki uglovi, i obrnuto;
- bilo koji trougao ima dva oštra ugla;
- spoljni ugao je veći od bilo kojeg unutrašnjeg ugla koji nije u blizini;
- zbir bilo koja dva ugla je uvijek manji od 180 stepeni;
- spoljni ugao jednak je zbiru druga dva ugla koji se ne seku sa njim.
Teorema o zbiru uglova trougla
Teorema kaže da ako saberete sve uglove date geometrijske figure, koja se nalazi na Euklidovoj ravni, onda će njihov zbir biti 180 stepeni. Pokušajmo dokazati ovu teoremu.
Imamo proizvoljan trougao sa vrhovima od KMN.
Kroz vrh M povucite pravu liniju paralelnu pravoj liniji KN (ova linija se takođe naziva Euklidska prava linija). Na njoj označavamo tačku A na način da se tačke K i A nalaze na različitim stranama prave MN. Dobijamo jednake uglove AMN i KNM, koji, kao i unutrašnji, leže poprečno i formirani su sekantom MN zajedno sa ravnima KN i MA, koje su paralelne. Iz ovoga slijedi da je zbir uglova trougla koji se nalazi na vrhovima M i H jednak veličini ugla KMA. Sva tri ugla čine zbir, koji je jednak zbiru uglova KMA i MKN. Pošto su ovi uglovi unutrašnji jednostrani u odnosu naparalelne prave KN i MA sa sekantom KM, njihov zbir je 180 stepeni. Teorem dokazan.
Posljedica
Sljedeći zaključak slijedi iz gore dokazane teoreme: bilo koji trougao ima dva oštra ugla. Da bismo to dokazali, pretpostavimo da data geometrijska figura ima samo jedan oštar ugao. Takođe se može pretpostaviti da nijedan od uglova nije oštar. U tom slučaju moraju postojati najmanje dva ugla jednaka ili veća od 90 stepeni. Ali tada će zbir uglova biti veći od 180 stepeni. Ali to ne može biti, jer prema teoremi, zbir uglova trokuta je 180 ° - ni više ni manje. To je ono što je trebalo dokazati.
Spoljni ugao
Koji je zbir spoljnih uglova trougla? Na ovo pitanje se može odgovoriti na jedan od dva načina. Prvi je da je potrebno pronaći zbir uglova koji se uzimaju po jedan u svakom vrhu, odnosno tri ugla. Drugi podrazumijeva da morate pronaći zbir svih šest uglova na vrhovima. Prvo, hajde da se pozabavimo prvom opcijom. Dakle, trokut sadrži šest vanjskih uglova - dva u svakom vrhu.
Svaki par ima jednake uglove jer su okomiti:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Osim toga, poznato je da je spoljašnji ugao trougla jednak zbiru dva unutrašnja ugla koji se sa njim ne seku. Stoga, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Iz ovoga proizlazi da je zbir eksternihuglovi, koji se uzimaju po jedan na svakom vrhu, bit će jednaki:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
S obzirom da je zbir uglova 180 stepeni, može se tvrditi da je ∟A + ∟B + ∟C=180°. A to znači da je ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Ako se koristi druga opcija, tada će zbir šest uglova biti dvostruko veći. To jest, zbir vanjskih uglova trougla će biti:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Pravougli trougao
Koji je zbir oštrih uglova pravouglog trougla? Odgovor na ovo pitanje, opet, slijedi iz teoreme, koja kaže da su uglovi u trouglu zbir 180 stepeni. A naša izjava (svojstvo) zvuči ovako: u pravokutnom trokutu, oštri uglovi su zbirni do 90 stepeni. Dokažimo njegovu istinitost.
Neka nam je dat trougao KMN, u kojem je ∟N=90°. Potrebno je dokazati da je ∟K + ∟M=90°.
Dakle, prema teoremi zbira uglova ∟K + ∟M + ∟N=180°. Naš uslov kaže da je ∟N=90°. Dakle, ispada, ∟K + ∟M + 90°=180°. To jest, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. To je ono što smo morali dokazati.
Pored gore navedenih svojstava pravouglog trougla, možete dodati sljedeće:
- uglovi koji leže uz noge su oštri;
- hipotenuza je trouglasta više od bilo koje katete;
- zbir kateta je veći od hipotenuze;
- nogatrougao koji leži nasuprot ugla od 30 stepeni je polovina hipotenuze, odnosno jednak je njegovoj polovini.
Kao još jedno svojstvo ove geometrijske figure, može se razlikovati Pitagorina teorema. Ona navodi da je u trouglu sa uglom od 90 stepeni (pravougaonom), zbir kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze.
Zbir uglova jednakokrakog trougla
Ranije smo rekli da je jednakokračan mnogokut sa tri vrha, koji sadrži dvije jednake stranice. Ovo svojstvo date geometrijske figure je poznato: uglovi u njenoj osnovi su jednaki. Dokažimo to.
Uzmite trougao KMN, koji je jednakokraki, KN mu je osnova.
Od nas se traži da dokažemo da je ∟K=∟N. Dakle, recimo da je MA simetrala našeg trougla KMN. MCA trokut, uzimajući u obzir prvi znak jednakosti, jednak je MCA trokutu. Naime, uslovom je dato da je KM=NM, MA je zajednička stranica, ∟1=∟2, pošto je MA simetrala. Koristeći činjenicu da su ova dva trougla jednaka, možemo reći da je ∟K=∟N. Dakle, teorema je dokazana.
Ali nas zanima koliki je zbir uglova trougla (jednakokrakog). Budući da u tom pogledu nema svojih posebnosti, poći ćemo od teoreme koja je ranije razmatrana. Odnosno, možemo reći da je ∟K + ∟M + ∟H=180°, ili 2 x ∟K + ∟M=180° (pošto je ∟K=∟H). Nećemo dokazivati ovo svojstvo, pošto je sama teorema o sumi trougla ranije dokazana.
Osim kako je diskutovanosvojstva o uglovima trougla, postoje i takve važne izjave:
- u jednakokračnom trouglu, visina koja je spuštena na osnovu je i medijana, simetrala ugla koji se nalazi između jednakih stranica, kao i osa simetrije njegove osnove;
- medijane (simetrale, visine) koje su povučene na strane takve geometrijske figure su jednake.
Jednakostranični trougao
Zove se i desni, to je trougao sa svim stranama jednakim. Stoga su i uglovi jednaki. Svaki od njih je 60 stepeni. Dokažimo ovo svojstvo.
Pretpostavimo da imamo trougao KMN. Znamo da je KM=NM=KN. A to znači da je prema svojstvu uglova koji se nalaze u osnovi u jednakokračnom trouglu, ∟K=∟M=∟N. Pošto je, prema teoremi, zbir uglova trougla ∟K + ∟M + ∟N=180°, onda je 3 x ∟K=180° ili ∟K=60°, ∟M=60°, ∟ N=60°. Dakle, tvrdnja je dokazana.
Kao što možete vidjeti iz gornjeg dokaza zasnovanog na teoremi, zbir uglova jednakostraničnog trougla, kao i zbir uglova bilo kojeg drugog trougla, je 180 stepeni. Nema potrebe ponovo dokazivati ovu teoremu.
Postoje i takve osobine karakteristične za jednakostranični trokut:
- medijana, simetrala, visina u takvoj geometrijskoj figuri su iste, a njihova dužina se računa kao (a x √3): 2;
- ako opišete krug oko datog poligona, tada će njegov radijus bitijednako (a x √3): 3;
- ako upišete krug u jednakostraničan trokut, tada će njegov polumjer biti (a x √3): 6;
- površina ove geometrijske figure izračunava se po formuli: (a2 x √3): 4.
trougao pod uglom
Prema definiciji tupouglog trougla, jedan od njegovih uglova je između 90 i 180 stepeni. Ali s obzirom da su druga dva ugla ove geometrijske figure oštra, možemo zaključiti da ne prelaze 90 stepeni. Stoga, teorema o zbiru uglova trougla radi kada se računa zbir uglova u tupouglu. Ispada da možemo sa sigurnošću reći, na osnovu gore pomenute teoreme, da je zbir uglova tupouglog trougla 180 stepeni. Opet, ovu teoremu ne treba ponovo dokazivati.
