Važan koncept u matematici je funkcija. Uz njegovu pomoć, možete vizualizirati mnoge procese koji se događaju u prirodi, odražavati odnos između određenih veličina pomoću formula, tablica i slika na grafikonu. Primjer je ovisnost pritiska sloja tekućine na tijelo o dubini uranjanja, ubrzanja - o djelovanju određene sile na predmet, porasta temperature - o prenesenoj energiji i mnogim drugim procesima. Proučavanje funkcije uključuje konstrukciju grafa, pojašnjenje njegovih svojstava, opsega i vrijednosti, intervala povećanja i smanjenja. Važna tačka u ovom procesu je pronalaženje ekstremnih tačaka. O tome kako to učiniti kako treba, a razgovor će se nastaviti.
O samom konceptu na konkretnom primjeru
U medicini, crtanje grafa funkcije može reći o napredovanju bolesti u tijelu pacijenta, vizualno odražavajući njegovo stanje. Pretpostavimo da je vrijeme u danima iscrtano duž ose OX, a temperatura ljudskog tijela duž ose OY. Slika jasno pokazuje kako ovaj indikator naglo raste, ionda pada. Također je lako uočiti singularne točke koje odražavaju trenutke kada funkcija, nakon što se prethodno povećala, počinje opadati, i obrnuto. To su ekstremne tačke, odnosno kritične vrijednosti (maksimalne i minimalne) u ovom slučaju temperature pacijenta, nakon čega dolazi do promjena u njegovom stanju.
Ugao nagiba
Iz slike je lako odrediti kako se derivacija funkcije mijenja. Ako se ravne linije grafikona povećavaju tokom vremena, onda je pozitivan. I što su strmiji, to je veća vrijednost derivacije, kako se ugao nagiba povećava. Tokom perioda opadanja, ova vrijednost poprima negativne vrijednosti, okrećući se na nulu u tačkama ekstrema, a graf derivacije u posljednjem slučaju se crta paralelno sa OX osom.
Svaki drugi proces treba tretirati na isti način. Ali najbolju stvar u vezi ovog koncepta može reći kretanje različitih tijela, jasno prikazano na grafikonima.
Pokret
Pretpostavimo da se neki objekt kreće pravolinijski, ravnomjerno dobijajući brzinu. U tom periodu promjena koordinata tijela grafički predstavlja određenu krivu, koju bi matematičar nazvao granom parabole. Istovremeno, funkcija se stalno povećava, jer se koordinatni indikatori mijenjaju sve brže i brže svake sekunde. Grafikon brzine pokazuje ponašanje derivata čija se vrijednost također povećava. To znači da pokret nema kritične tačke.
To bi se nastavilo beskonačno. Ali ako tijelo odjednom odluči usporiti, zaustavite se i počnite se kretati u drugomsmjer? U tom slučaju, koordinatni indikatori će se početi smanjivati. A funkcija će proći kritičnu vrijednost i preći iz povećanja u opadajuću.
U ovom primjeru ponovo možete razumjeti da se tačke ekstrema na grafu funkcije pojavljuju u trenucima kada on prestane biti monoton.
Fizičko značenje izvedenice
Ranije opisano je jasno pokazalo da je derivat u suštini stopa promjene funkcije. Ova prefinjenost sadrži svoje fizičko značenje. Ekstremne tačke su kritične oblasti na grafikonu. Moguće ih je saznati i otkriti izračunavanjem vrijednosti derivacije za koju se ispostavi da je jednaka nuli.
Postoji još jedan znak, koji je dovoljan uslov za ekstrem. Derivat na takvim mestima fleksije menja svoj predznak: od "+" do "-" u oblasti maksimuma i od "-" do "+" u oblasti minimuma.
Kretanje pod uticajem gravitacije
Zamislimo drugu situaciju. Djeca su je, igrajući se loptom, bacila na takav način da je počela da se kreće pod uglom prema horizontu. U početnom trenutku brzina ovog objekta je bila najveća, ali je pod uticajem gravitacije počela da opada, i to sa svakom sekundom za istu vrednost, približno 9,8 m/s2. Ovo je vrijednost ubrzanja koje nastaje pod utjecajem zemljine gravitacije pri slobodnom padu. Na Mjesecu bi bio oko šest puta manji.
Grafikon koji opisuje kretanje tijela je parabola sa granama,prema dolje. Kako pronaći ekstremne tačke? U ovom slučaju, ovo je vrh funkcije, gdje brzina tijela (loptice) poprima nultu vrijednost. Izvod funkcije postaje nula. U tom slučaju se smjer, a time i vrijednost brzine, mijenja u suprotno. Tijelo sa svake sekunde leti sve brže i brže, i ubrzava za isto toliko - 9,8 m/s2.
Drugi derivat
U prethodnom slučaju, grafik modula brzine je nacrtan kao prava linija. Ova linija je najpre usmerena naniže, jer se vrednost ove veličine stalno smanjuje. Kada dosegnu nulu u jednom od vremenskih trenutaka, indikatori ove vrijednosti počinju rasti, a smjer grafičkog prikaza modula brzine dramatično se mijenja. Linija sada pokazuje prema gore.
Brzina, kao vremenski izvod koordinate, takođe ima kritičnu tačku. U ovoj regiji, funkcija, koja se u početku smanjuje, počinje rasti. Ovo je mjesto tačke ekstrema derivacije funkcije. U ovom slučaju, nagib tangente postaje nula. A ubrzanje, kao drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme, mijenja predznak iz “-” u “+”. A kretanje od ravnomjerno sporog postaje ravnomjerno ubrzano.
Tabela ubrzanja
Sada razmotrite četiri slike. Svaki od njih prikazuje graf promjene tijekom vremena takve fizičke veličine kao što je ubrzanje. U slučaju "A", njegova vrijednost ostaje pozitivna i konstantna. To znači da se brzina tijela, kao i njegova koordinata, stalno povećava. Ako azamislite da će se objekt kretati na ovaj način beskonačno dugo, funkcija koja odražava ovisnost koordinate o vremenu će se pokazati da se stalno povećava. Iz ovoga proizilazi da nema kritičnih područja. Na grafu derivacije također nema ekstremnih tačaka, odnosno linearne promjene brzine.
Isto važi i za slučaj "B" sa pozitivnim i stalno rastućim ubrzanjem. Istina, dijagrami za koordinate i brzinu će ovdje biti nešto složeniji.
Kada ubrzanje teži nuli
Gledajući sliku "B", možete vidjeti potpuno drugačiju sliku koja karakterizira kretanje tijela. Njegova brzina će biti grafički prikazana kao parabola sa granama okrenutim prema dolje. Ako nastavimo liniju koja opisuje promjenu ubrzanja sve dok se ne siječe s osom OX, i dalje, onda možemo zamisliti da će se do ove kritične vrijednosti, gdje se ispostavi da je ubrzanje jednako nuli, brzina objekta povećati sve sporije. Ekstremna tačka derivacije koordinatne funkcije bit će tik na vrhu parabole, nakon čega će tijelo radikalno promijeniti prirodu kretanja i početi se kretati u drugom smjeru.
U potonjem slučaju, "G", priroda kretanja se ne može precizno odrediti. Ovdje samo znamo da nema ubrzanja za neki period koji se razmatra. To znači da predmet može ostati na mjestu ili se kretanje odvija konstantnom brzinom.
Zadatak sabiranja koordinata
Pređimo na zadatke koji se često nalaze u učenju algebre u školi i koji se nude zapriprema za ispit. Slika ispod prikazuje graf funkcije. Potrebno je izračunati zbir bodova ekstrema.
Učinimo ovo za y-osu određivanjem koordinata kritičnih područja u kojima se uočava promjena karakteristika funkcije. Jednostavno rečeno, nalazimo vrijednosti duž x-ose za točke pregiba, a zatim nastavljamo sa dodavanjem rezultirajućih pojmova. Prema grafikonu, vidljivo je da imaju sljedeće vrijednosti: -8; -7; -5; -3; -2; jedan; 3. Ovo daje -21, što je odgovor.
Optimalno rješenje
Nije potrebno objašnjavati koliko izbor optimalnog rješenja može biti važan u obavljanju praktičnih zadataka. Na kraju krajeva, postoji mnogo načina da se postigne cilj, a najbolji izlaz, u pravilu, je samo jedan. Ovo je izuzetno neophodno, na primjer, prilikom projektovanja brodova, svemirskih letjelica i aviona, arhitektonskih konstrukcija kako bi se pronašao optimalan oblik ovih objekata koje je napravio čovjek.
br Brodu na moru su potrebne takve kvalitete kao što je stabilnost tokom oluje; za riječni brod je važan minimalni gaz. Prilikom izračunavanja optimalnog dizajna, tačke ekstrema na grafu mogu vizualno dati ideju o najboljem rješenju složenog problema. Zadaci ove vrste su čestirješavaju se u privredi, u ekonomskim oblastima, u mnogim drugim životnim situacijama.
Iz antičke istorije
Ekstremni problemi zaokupljali su čak i drevne mudrace. Grčki naučnici uspješno su razotkrili misteriju površina i volumena kroz matematičke proračune. Oni su prvi shvatili da na ravni različitih figura sa istim perimetrom krug uvijek ima najveću površinu. Slično, lopta je obdarena maksimalnom zapreminom među ostalim objektima u prostoru sa istom površinom. Takve poznate ličnosti poput Arhimeda, Euklida, Aristotela, Apolonija posvetile su se rješavanju takvih problema. Heron je vrlo dobro uspio pronaći ekstremne tačke, koji je, pribjegavši proračunima, napravio genijalne uređaje. To uključuje automatske mašine koje se kreću pomoću pare, pumpe i turbine koje rade na istom principu.
Izgradnja Kartage
Postoji legenda, čija se radnja zasniva na rješavanju jednog od ekstremnih problema. Rezultat poslovnog pristupa koji je pokazala feničanska princeza, koja se obratila mudracima za pomoć, bila je izgradnja Kartage. Zemljište za ovaj drevni i slavni grad je Didoni (tako se zvao vladar) poklonio vođa jednog od afričkih plemena. Površina parcele mu se isprva nije činila jako velikom, jer je prema ugovoru morala biti prekrivena volovskom kožom. Ali princeza je naredila svojim vojnicima da ga iseku na tanke trake i od njih naprave pojas. Ispostavilo se da je toliko dugačak da je pokrio stranicu,gdje se cijeli grad uklapa.
Porijeklo računice
A sada pređimo iz drevnih vremena u kasniju eru. Zanimljivo je da je u 17. veku Kepler bio potaknut da razume osnove matematičke analize susretom sa prodavcem vina. Trgovac je bio toliko upućen u svoju profesiju da je lako mogao odrediti količinu pića u buretu jednostavnim spuštanjem željeznog podveza u nju. Razmišljajući o takvoj radoznalosti, slavni naučnik je uspeo da sam reši ovu dilemu. Ispostavilo se da su se vješti bačvari tog vremena snašli u izradi posuda na način da na određenoj visini i poluprečniku obima prstenova za pričvršćivanje imaju maksimalan kapacitet.
Ovo je bio Keplerov razlog za dalje razmišljanje. Bochari su do optimalnog rješenja došli dugim traženjem, greškama i novim pokušajima, prenoseći svoje iskustvo s generacije na generaciju. Ali Kepler je želio ubrzati proces i naučiti kako to učiniti za kratko vrijeme kroz matematičke proračune. Sav njegov razvoj, koji su pokupili kolege, pretvorio se u sada poznate Fermaove i Njutnove teoreme - Leibniz.
Problem sa maksimalnom površinom
Zamislimo da imamo žicu dužine 50 cm. Kako od nje napraviti pravougaonik najveće površine?
Polazeći od odluke treba poći od jednostavnih i poznatih istina. Jasno je da će obim naše figure biti 50 cm. Također se sastoji od dvostrukih dužina obje strane. To znači da, nakon što je jedan od njih označen kao "X", drugi se može izraziti kao (25 - X).
Odavde dobijamopovršina jednaka X (25 - X). Ovaj izraz se može predstaviti kao funkcija koja poprima mnogo vrijednosti. Rješenje problema zahtijeva pronalaženje maksimuma od njih, što znači da treba pronaći tačke ekstrema.
Da bismo to uradili, nalazimo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom. Rezultat je jednostavna jednadžba: 25 - 2X=0.
Iz njega saznajemo da je jedna od stranica X=12, 5.
Dakle, još jedno: 25 – 12, 5=12, 5.
Ispostavilo se da će rješenje problema biti kvadrat sa stranicom od 12,5 cm.
Kako pronaći maksimalnu brzinu
Razmotrimo još jedan primjer. Zamislite da postoji tijelo čije je pravolinijsko gibanje opisano jednačinom S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, gdje je udaljenost prijeđeno je izraženo u metrima, a vrijeme u sekundama. Potrebno je pronaći maksimalnu brzinu. Kako uraditi? Preuzeto pronađite brzinu, odnosno prvu derivaciju.
Dobijamo jednačinu: V=- 3t2 + 18t – 24. Sada, da bismo riješili problem, ponovo moramo pronaći tačke ekstrema. Ovo se mora uraditi na isti način kao u prethodnom zadatku. Pronađite prvi izvod brzine i izjednačite ga sa nulom.
Dobijamo: - 6t + 18=0. Otuda je t=3 s. Ovo je vrijeme kada brzina tijela poprima kritičnu vrijednost. Dobijene podatke zamjenjujemo u jednačinu brzine i dobijamo: V=3 m/s.
Ali kako shvatiti da je to upravo maksimalna brzina, jer kritične tačke funkcije mogu biti njene maksimalne ili minimalne vrijednosti? Da biste provjerili, morate pronaći drugogderivat brzine. Izražava se kao broj 6 sa znakom minus. To znači da je pronađena tačka maksimum. A u slučaju pozitivne vrijednosti drugog izvoda, postojao bi minimum. Dakle, pronađeno rješenje se pokazalo tačnim.
Zadaci dati kao primjer samo su dio onih koji se mogu riješiti pronalaženjem ekstremnih tačaka funkcije. U stvari, ima ih mnogo više. A takvo znanje otvara neograničene mogućnosti ljudskoj civilizaciji.
