Funkcija i proučavanje njenih karakteristika jedno je od ključnih poglavlja moderne matematike. Glavna komponenta bilo koje funkcije su grafovi koji prikazuju ne samo njena svojstva, već i parametre derivacije ove funkcije. Hajde da pogledamo ovu zeznutu temu. Dakle, koji je najbolji način da pronađete maksimalne i minimalne tačke funkcije?
Funkcija: Definicija
Svaka varijabla koja na neki način ovisi o vrijednostima druge vrijednosti može se nazvati funkcijom. Na primjer, funkcija f(x2) je kvadratna i određuje vrijednosti za cijeli skup x. Recimo da je x=9, tada će vrijednost naše funkcije biti jednaka 92=81.
Funkcije dolaze u mnogo različitih tipova: logičke, vektorske, logaritamske, trigonometrijske, numeričke i druge. Takvi izvanredni umovi kao što su Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli bili su angažovani u njihovom proučavanju. Njihovi spisi služe kao bedem u modernim načinima proučavanja funkcija. Prije pronalaženja minimalnih tačaka, vrlo je važno razumjeti samo značenje funkcije i njenog izvoda.
Derivat i njegova uloga
Sve funkcije su uključeneovisno o vrijednostima njihovih varijabli, što znači da mogu promijeniti svoju vrijednost u bilo kojem trenutku. Na grafikonu će to biti prikazano kao kriva koja se ili spušta ili podiže duž y-ose (ovo je cijeli skup "y" brojeva duž vertikale grafikona). I tako je definicija tačke maksimuma i minimuma funkcije upravo povezana sa ovim "oscilacijama". Hajde da objasnimo kakav je to odnos.
Izvod bilo koje funkcije se crta na grafu kako bi se proučile njene glavne karakteristike i izračunala brzina promjene funkcije (tj. mijenja svoju vrijednost u zavisnosti od varijable "x"). U trenutku kada funkcija raste, grafik njene derivacije će se također povećati, ali u bilo kojoj sekundi funkcija može početi opadati, a zatim će se graf derivacije smanjiti. One tačke u kojima derivacija ide od minusa do plusa nazivaju se minimalne tačke. Da biste znali kako pronaći minimalne bodove, trebali biste bolje razumjeti koncept derivacije.
Kako izračunati derivat?
Definiranje i izračunavanje derivacije funkcije podrazumijeva nekoliko koncepata iz diferencijalnog računa. Generalno, sama definicija derivacije može se izraziti na sljedeći način: ovo je vrijednost koja pokazuje brzinu promjene funkcije.
Matematički način određivanja za mnoge studente izgleda komplikovano, ali u stvari je sve mnogo jednostavnije. Samo trebate pratitistandardni plan za pronalaženje derivacije bilo koje funkcije. Sljedeće opisuje kako možete pronaći minimalnu točku funkcije bez primjene pravila diferencijacije i bez pamćenja tablice derivacija.
- Možete izračunati derivaciju funkcije koristeći graf. Da biste to učinili, morate prikazati samu funkciju, a zatim uzeti jednu tačku na njoj (tačka A na slici) Nacrtati liniju okomito nadole do ose apscise (tačka x0), i u tački A nacrtajte tangentu na grafiku funkcije. Os apscisa i tangenta tvore ugao a. Da biste izračunali koliko brzo se funkcija povećava, morate izračunati tangens ovog ugla a.
- Ispostavilo se da je tangenta ugla između tangente i pravca x-ose derivacija funkcije u maloj površini sa tačkom A. Ova metoda se smatra geometrijskim načinom određivanja derivacije.
Metode istraživanja funkcije
U školskom programu matematike moguće je pronaći minimalnu tačku funkcije na dva načina. Već smo analizirali prvu metodu koristeći graf, ali kako odrediti numeričku vrijednost derivacije? Da biste to učinili, morat ćete naučiti nekoliko formula koje opisuju svojstva izvoda i pomažu u pretvaranju varijabli poput "x" u brojeve. Sljedeća metoda je univerzalna, tako da se može primijeniti na gotovo sve vrste funkcija (i geometrijske i logaritamske).
- Potrebno je izjednačiti funkciju sa deriviranom funkcijom, a zatim pojednostaviti izraz koristeći praviladiferencijacija.
- podijeliti sa nulom).
- Nakon toga, trebalo bi da konvertujete originalni oblik funkcije u jednostavnu jednačinu, izjednačavajući ceo izraz sa nulom. Na primjer, ako je funkcija izgledala ovako: f(x)=2x3+38x, tada je prema pravilima diferencijacije njen izvod jednak f'(x)=3x 2 +1. Zatim transformiramo ovaj izraz u jednačinu sljedećeg oblika: 3x2+1=0.
- Nakon rješavanja jednačine i pronalaženja tačaka "x", treba ih nacrtati na x-osi i odrediti da li je izvod u ovim područjima između označenih tačaka pozitivan ili negativan. Nakon oznake, postat će jasno u kojem trenutku funkcija počinje opadati, odnosno mijenja predznak iz minusa u suprotan. Na ovaj način možete pronaći i minimalne i maksimalne bodove.
Pravila diferencijacije
Najosnovniji dio učenja funkcije i njenog derivata je poznavanje pravila diferencijacije. Samo uz njihovu pomoć moguće je transformirati glomazne izraze i velike složene funkcije. Hajde da se upoznamo s njima, ima ih dosta, ali su svi vrlo jednostavni zbog regularnih svojstava i stepena i logaritamskih funkcija.
- Izvod bilo koje konstante je nula (f(x)=0). To jest, derivacija f(x)=x5+ x - 160 će imati sljedeći oblik: f' (x)=5x4+1.
- Izvod zbira dva člana: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivat logaritamske funkcije: (logad)'=d/ln ad. Ova formula se primjenjuje na sve vrste logaritama.
- Izvod stepena: (x)'=nxn-1. Na primjer, (9x2)'=92x=18x.
- Derivat sinusoidne funkcije: (sin a)'=cos a. Ako je sin ugla a 0,5, onda je njegov izvod √3/2.
Ekstremni bodovi
Već smo smislili kako pronaći minimalne tačke, međutim, postoji koncept maksimalnih tačaka funkcije. Ako minimum označava one tačke u kojima funkcija ide od minusa do plusa, tada su tačke maksimuma one tačke na x-osi u kojima se derivacija funkcije mijenja iz plusa u suprotno - minus.
Možete pronaći maksimalne bodove koristeći gore opisanu metodu, samo treba uzeti u obzir da oni označavaju ona područja u kojima funkcija počinje opadati, odnosno derivacija će biti manja od nule.
U matematici je uobičajeno da se generalizuju oba koncepta, zamenjujući ih frazom "ekstremalne tačke". Kada se u zadatku traži određivanje ovih tačaka, to znači da je potrebno izračunati derivaciju ove funkcije i pronaći minimalne i maksimalne tačke.
