Sposobnost rada sa numeričkim izrazima koji sadrže kvadratni korijen neophodna je za uspješno rješavanje brojnih problema iz OGE i USE. Na ovim ispitima obično je dovoljno osnovno razumijevanje šta je vađenje korijena i kako se to radi u praksi.
Definicija
N-ti korijen broja X je broj x za koji je tačna jednakost: xn =X.
Pronalaženje vrijednosti izraza s korijenom znači pronalaženje x datih X i n.
Kvadratni korijen ili, što je isto, drugi korijen od X - broj x za koji je zadovoljena jednakost: x2 =X.
Oznaka: ∛H. Ovdje je 3 stepen korijena, X je korijenski izraz. Znak '√' se često naziva radikalom.
Ako broj iznad korijena ne označava stepen, tada je zadani stepen 2.
U školskom kursu za parne diplome, negativni korijeni i radikalni izrazi se obično ne uzimaju u obzir. Na primjer, ne postoji√-2, a za izraz √4, tačan odgovor je 2, uprkos činjenici da je (-2)2 takođe jednako 4.
Racionalnost i iracionalnost korijena
Najjednostavniji mogući zadatak s korijenom je pronaći vrijednost izraza ili ga testirati na racionalnost.
Na primjer, izračunajte vrijednosti √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 jer 52 =25;
- ∛8=2 jer 23 =8;
- ∛ - 125=-5 pošto (-5)3 =-125.
Odgovori u datim primjerima su racionalni brojevi.
Kada radite sa izrazima koji ne sadrže literalne konstante i varijable, preporučuje se uvijek izvršiti takvu provjeru koristeći inverznu operaciju podizanja na prirodni stepen. Pronalaženje broja x na n-ti stepen je ekvivalentno izračunavanju proizvoda n faktora od x.
Postoji mnogo izraza sa korijenom, čija je vrijednost iracionalna, odnosno napisana kao beskonačan neperiodični razlomak.
Po definiciji, racionalni su oni koji se mogu izraziti kao obični razlomak, a iracionalni su svi ostali realni brojevi.
Ovo uključuje √24, √0, 1, √101.
Ako knjiga zadataka kaže: pronađite vrijednost izraza s korijenom od 2, 3, 5, 6, 7, itd., odnosno od onih prirodnih brojeva koji nisu sadržani u tabeli kvadrata, tada je tačan odgovor √ 2 može biti prisutan (osim ako nije drugačije navedeno).
Procjena
U problemima saotvoren odgovor, ako je nemoguće pronaći vrijednost izraza s korijenom i napisati ga kao racionalan broj, rezultat treba ostaviti kao radikal.
Neki zadaci mogu zahtijevati evaluaciju. Na primjer, uporedite 6 i √37. Rješenje zahtijeva kvadriranje oba broja i poređenje rezultata. Od dva broja veći je onaj čiji je kvadrat veći. Ovo pravilo radi za sve pozitivne brojeve:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- znači √37 > 6.
Na isti način rješavaju se i problemi u kojima se nekoliko brojeva mora poredati u rastućem ili opadajućem redoslijedu.
Primjer: Rasporedite 5, √6, √48, √√64 u rastućem redoslijedu.
Nakon kvadriranja, imamo: 25, 6, 48, √64. Mogli bismo ponovo kvadrirati sve brojeve da bismo ih uporedili sa √64, ali to je jednako racionalnom broju 8. 6 < 8 < 25 < 48, pa je rješenje: 48.
Pojednostavljivanje izraza
Dešava se da je nemoguće pronaći vrijednost izraza s korijenom, pa se mora pojednostaviti. Sljedeća formula pomaže u tome:
√ab=√a√b.
Koren proizvoda dva broja jednak je proizvodu njihovih korena. Ova operacija će također zahtijevati mogućnost faktorizacije broja.
U početnoj fazi, da biste ubrzali rad, preporučljivo je imati pri ruci tabelu prostih brojeva i kvadrata. Ovi stolovi sa čestimupotreba u budućnosti će biti zapamćena.
Na primjer, √242 je iracionalan broj, možete ga pretvoriti ovako:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Obično se rezultat piše kao 11√2 (čitaj: jedanaest korijena od dva).
Ako je teško odmah vidjeti na koja dva faktora broj treba razložiti tako da se prirodni korijen može izdvojiti iz jednog od njih, možete koristiti punu dekompoziciju na proste faktore. Ako se isti prost broj pojavi dva puta u proširenju, on se uklanja iz predznaka korijena. Kada postoji mnogo faktora, možete izdvojiti korijen u nekoliko koraka.
Primjer: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Broj 2 se pojavljuje u ekspanziji 2 puta (u stvari, više od dva puta, ali nas još uvijek zanimaju prva dva pojavljivanja u proširenju).
Vadimo ga ispod korijenskog znaka:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Ponovite istu radnju:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
U preostalom radikalnom izrazu, 2 i 3 se javljaju jednom, tako da ostaje da se izuzme faktor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
i izvršite aritmetičke operacije:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Dakle, dobijamo √2400=20√6.
Ako u zadatku nije eksplicitno navedeno: "pronađi vrijednost izraza s kvadratnim korijenom", tada je izbor,u kom obliku ostaviti odgovor (da li izvući korijen ispod radikala) ostaje za studenta i može ovisiti o problemu koji se rješava.
U početku se postavljaju visoki zahtjevi za izradu zadataka, proračun, uključujući usmeno ili pismeno, bez upotrebe tehničkih sredstava.
Tek nakon dobrog savladavanja pravila za rad sa iracionalnim numeričkim izrazima, ima smisla preći na teže literalne izraze i na rješavanje iracionalnih jednačina i izračunavanje raspona mogućih vrijednosti izraza pod radikalno.
S ovakvom vrstom problema studenti se susreću na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, kao i na prvoj godini specijalizovanih univerziteta kada izučavaju matematičku analizu i srodne discipline.
