Proučavanje funkcija i njihovih grafova tema je kojoj se posvećuje posebna pažnja u okviru srednjoškolskog programa. Neke osnove matematičke analize – diferencijacija – uključene su u profilni nivo ispita iz matematike. Neki školarci imaju problema s ovom temom, jer brkaju grafove funkcije i derivacije, a zaboravljaju i algoritme. Ovaj članak će pokriti glavne vrste zadataka i kako ih riješiti.
Koja je vrijednost funkcije?
Matematička funkcija je posebna jednačina. Uspostavlja odnos između brojeva. Funkcija zavisi od vrijednosti argumenta.
Vrijednost funkcije se izračunava prema datoj formuli. Da biste to učinili, zamijenite bilo koji argument koji odgovara rasponu važećih vrijednosti u ovoj formuli umjesto x i izvršite potrebne matematičke operacije. Šta?
Kako možete pronaći najmanju vrijednost funkcije,koristeći funkciju grafa?
Grafički prikaz zavisnosti funkcije od argumenta naziva se graf funkcije. Izgrađena je na ravni sa određenim jediničnim segmentom, gdje je vrijednost varijable ili argumenta iscrtana duž vodoravne apscise, a odgovarajuća vrijednost funkcije duž vertikalne ordinatne ose.
Što je veća vrijednost argumenta, to je više desno na grafu. I što je veća vrijednost same funkcije, to je viša tačka.
Šta ovo govori? Najmanja vrijednost funkcije će biti tačka koja leži najniže na grafu. Da biste ga pronašli na segmentu grafikona, trebate:
1) Pronađite i označite krajeve ovog segmenta.
2) Vizuelno odredite koja tačka na ovom segmentu leži najniže.
3) Kao odgovor, zapišite njegovu numeričku vrijednost, koja se može odrediti projektiranjem tačke na y-osu.
Poeni ekstrema na grafikonu derivata. Gdje pogledati?
Međutim, prilikom rješavanja problema ponekad se daje graf ne funkcije, već njene derivacije. Da ne biste slučajno napravili glupu grešku, bolje je pažljivo pročitati uslove, jer zavisi od toga gde treba da tražite tačke ekstrema.
Dakle, derivacija je trenutna stopa povećanja funkcije. Prema geometrijskoj definiciji, derivacija odgovara nagibu tangente, koja je direktno povučena u datu tačku.
Poznato je da je u tačkama ekstrema tangenta paralelna sa Ox osom. To znači da je njegov nagib 0.
Iz ovoga možemo zaključiti da u tačkama ekstrema derivacija leži na x-osi ili nestaje. Ali pored toga, u tim točkama funkcija mijenja svoj smjer. Odnosno, nakon perioda povećanja, počinje opadati, a derivat se, shodno tome, mijenja iz pozitivne u negativnu. Ili obrnuto.
Ako izvod postane negativan iz pozitivnog, ovo je maksimalni bod. Ako iz negativnog postane pozitivno - minimalni bod.
Važno: ako trebate navesti minimalnu ili maksimalnu tačku u zadatku, tada kao odgovor trebate napisati odgovarajuću vrijednost duž ose apscise. Ali ako trebate pronaći vrijednost funkcije, prvo morate zamijeniti odgovarajuću vrijednost argumenta u funkciju i izračunati je.
Kako pronaći tačke ekstrema koristeći derivat?
Razmatrani primjeri se uglavnom odnose na zadatak broj 7 ispita, koji uključuje rad sa grafom derivata ili antiderivata. Ali zadatak 12 USE - pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu (ponekad najveću) - izvodi se bez ikakvih crteža i zahtijeva osnovne vještine matematičke analize.
Da biste to izvršili, morate biti u mogućnosti da pronađete tačke ekstrema koristeći derivat. Algoritam za njihovo pronalaženje je sljedeći:
- Pronađi derivaciju funkcije.
- Postavite na nulu.
- Pronađi korijene jednačine.
- Provjerite da li su dobijene tačke ekstremne ili prevojne tačke.
Da biste to učinili, nacrtajte dijagram i daljerezultujući intervali određuju predznake izvoda zamjenom brojeva koji pripadaju segmentima u izvod. Ako ste prilikom rješavanja jednačine dobili korijene dvostruke višestrukosti, to su točke pregiba.
Primjenom teorema odredite koje su tačke minimalne, a koje maksimalne
Izračunajte najmanju vrijednost funkcije koristeći derivaciju
Međutim, nakon izvršenja svih ovih radnji, naći ćemo vrijednosti minimalnih i maksimalnih tačaka duž x-ose. Ali kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Šta je potrebno učiniti da bi se pronašao broj koji odgovara funkciji u određenoj tački? Morate zamijeniti vrijednost argumenta u ovu formulu.
Tačke minimuma i maksimuma odgovaraju najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije na segmentu. Dakle, da biste pronašli vrijednost funkcije, morate izračunati funkciju koristeći dobijene x vrijednosti.
Važno! Ako zadatak zahtijeva da navedete minimalnu ili maksimalnu tačku, tada kao odgovor trebate napisati odgovarajuću vrijednost duž x-ose. Ali ako trebate pronaći vrijednost funkcije, tada morate prvo zamijeniti odgovarajuću vrijednost argumenta u funkciju i izvesti potrebne matematičke operacije.
Šta da radim ako nema niskih vrijednosti u ovom segmentu?
Ali kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu bez tačaka ekstrema?
To znači da se funkcija monotono smanjuje ili povećava na njoj. Zatim trebate zamijeniti vrijednost ekstremnih tačaka ovog segmenta u funkciju. Postoje dva načina.
1) Nakon izračunavanjaderivaciju i intervale na kojima je ona pozitivna ili negativna, da se zaključi da li se funkcija smanjuje ili povećava na datom segmentu.
U skladu s njima, zamijenite veću ili manju vrijednost argumenta u funkciju.
2) Jednostavno zamijenite obje točke u funkciju i uporedite rezultirajuće vrijednosti funkcije.
U kojim zadacima je pronalaženje izvedenice opciono
Po pravilu, u USE zadacima, još uvijek morate pronaći izvedenicu. Postoji samo nekoliko izuzetaka.
1) Parabola.
Vrh parabole se nalazi po formuli.
Ako je < 0, tada su grane parabole usmjerene prema dolje. A njegov vrh je maksimalna tačka.
Ako je > 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, vrh je minimalna tačka.
Kada ste izračunali tačku vrha parabole, trebali biste zamijeniti njenu vrijednost u funkciju i izračunati odgovarajuću vrijednost funkcije.
2) Funkcija y=tg x. Ili y=ctg x.
Ove funkcije se monotono povećavaju. Stoga, što je veća vrijednost argumenta, veća je vrijednost same funkcije. Zatim ćemo pogledati kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu s primjerima.
Glavne vrste zadataka
Zadatak: najveća ili najmanja vrijednost funkcije. Primjer na grafikonu.
Na slici vidite grafik derivacije funkcije f (x) na intervalu [-6; 6]. U kojoj tački segmenta [-3; 3] f(x) uzima najmanju vrijednost?
Dakle, za početak, trebali biste odabrati navedeni segment. Na njemu funkcija jednom uzima nultu vrijednost i mijenja svoj predznak - ovo je tačka ekstrema. Pošto izvod iz negativnog postaje pozitivan, to znači da je ovo minimalna tačka funkcije. Ova tačka odgovara vrijednosti argumenta 2.
Odgovor: 2.
Nastavite gledati primjere. Zadatak: pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
Pronađi najmanju vrijednost funkcije y=(x - 8) ex-7na intervalu [6; 8].
1. Uzmi derivaciju kompleksne funkcije.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Izjednačite rezultirajuću derivaciju sa nulom i riješite jednačinu.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, ili ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, bez korijena
3. Zamijenite vrijednost ekstremnih tačaka u funkciju, kao i dobijene korijene jednadžbe.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Odgovor: -1.
Dakle, u ovom članku je razmatrana glavna teorija o tome kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu, koja je neophodna za uspješno rješavanje USE zadataka u specijalizovanoj matematici. Također elementi matematičkoganalize se koriste pri rješavanju zadataka iz C dijela ispita, ali očigledno predstavljaju različit nivo složenosti, a algoritmi za njihovo rješavanje teško se uklapaju u okvire jednog gradiva.
