Kako pronaći proizvod matrica. Množenje matrice. Skalarni proizvod matrica. Proizvod tri matrice

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Matrice (tabele sa numeričkim elementima) se mogu koristiti za različite proračune. Neki od njih su množenje brojem, vektor, drugi matrica, nekoliko matrica. Proizvod je ponekad neispravan. Pogrešan rezultat je rezultat nepoznavanja pravila za izvođenje računskih radnji. Hajde da shvatimo kako se radi množenje.

Matrica i broj

Počnimo od najjednostavnije stvari - množenja tablice sa brojevima određenom vrijednošću. Na primjer, imamo matricu A sa elementima a_ij (i su brojevi redova, a j brojevi kolona) i brojem e. Proizvod matrice brojem e bit će matrica B sa elementima b_ij, koji se nalaze po formuli:

b_ij=e × a_ij.

T. e. da biste dobili element b₁₁ potrebno je da uzmete element a₁₁ i pomnožite ga sa željenim brojem, da dobijete b₁₂ potrebno je pronaći proizvod elementa a₁₂ i broja e, itd.

Rešimo problem broj 1 prikazan na slici. Da biste dobili matricu B, jednostavno pomnožite elemente iz A sa 3:

1. a₁₁ × 3=18. Ovu vrijednost upisujemo u matricu B na mjestu gdje se seku kolona br. 1 i red br. 1.
2. a₂₁ × 3=15. Dobili smo element b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Dobili smo element b₁₂. Upisujemo ga u matricu B na mjestu gdje se seku kolona 2 i red 1.
4. a₂₂ × 3=9. Ovaj rezultat je element b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Unesite ovaj broj u matricu umjesto elementa b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Zadnji primljeni broj je element b₂₃.

Tako smo dobili pravougaoni niz sa numeričkim elementima.

18	–6	12
15	9	–3

Vektori i uslov postojanja proizvoda matrica

U matematičkim disciplinama postoji nešto kao "vektor". Ovaj termin se odnosi na uređeni skup vrijednosti od a₁ do a . Zovu se vektorske prostorne koordinate i zapisuju se kao stupac. Postoji i termin "transponovani vektor". Njegove komponente su raspoređene kao niz.

Vektori se mogu nazvati matricama:

• vektor kolone je matrica izgrađena od jedne kolone;
• vektor reda je matrica koja uključuje samo jedan red.

Kada je gotovopreko matrica operacija množenja, važno je zapamtiti da postoji uslov za postojanje proizvoda. Računska radnja A × B može se izvesti samo kada je broj kolona u tabeli A jednak broju redova u tabeli B. Rezultirajuća matrica koja rezultira iz izračunavanja uvijek ima broj redova u tabeli A i broj kolona u tabeli B.

Prilikom množenja ne preporučuje se preuređivanje matrica (množitelja). Njihov proizvod obično ne odgovara komutativnom zakonu (pomaka) množenja, tj. rezultat operacije A × B nije jednak rezultatu operacije B × A. Ova karakteristika se naziva nekomutativnost proizvoda od matrice. U nekim slučajevima, rezultat množenja A × B jednak je rezultatu množenja B × A, tj. proizvod je komutativan. Matrice za koje vrijedi jednakost A × B=B × A nazivaju se permutacijske matrice. Pogledajte primjere takvih tabela ispod.

Množenje vektorom kolone

Prilikom množenja matrice vektorom kolone, moramo uzeti u obzir uslov postojanja proizvoda. Broj kolona (n) u tabeli mora odgovarati broju koordinata koje čine vektor. Rezultat proračuna je transformirani vektor. Njegov broj koordinata jednak je broju linija (m) iz tabele.

Kako se izračunavaju koordinate vektora y ako postoji matrica A i vektor x? Za proračun kreirane formule:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

……………………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

gde su x₁, …, x koordinate iz x-vektora, m je broj redova u matrici i broj koordinata u novom y-vektoru, n je broj kolona u matrici i broj koordinata u x-vektoru, a₁₁, a_{12, …, a}mn– elementi matrice A.

Da bi se dobila i-ta komponenta novog vektora, izvodi se skalarni proizvod. I-ti vektor reda se uzima iz matrice A i množi se dostupnim vektorom x.

Rešimo problem2. Možete pronaći proizvod matrice i vektora jer A ima 3 kolone, a x se sastoji od 3 koordinate. Kao rezultat, trebali bismo dobiti vektor stupca sa 4 koordinate. Koristimo gornje formule:

1. Izračunaj y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Konačna vrijednost je 2.
2. Izračunaj y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Prilikom izračunavanja dobijamo 0.
3. Izračunaj y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Zbir proizvoda navedenih faktora je 6.
4. Izračunaj y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinata je -8.

Množenje vektorske matrice reda

Matricu sa više kolona ne možete množiti vektorom reda. U takvim slučajevima nije ispunjen uslov za postojanje djela. Ali množenje vektora reda matricom je moguće. Ovoračunska operacija se izvodi kada se poklapaju broj koordinata u vektoru i broj redova u tabeli. Rezultat proizvoda vektora i matrice je novi vektor reda. Njegov broj koordinata mora biti jednak broju kolona u matrici.

Izračunavanje prve koordinate novog vektora uključuje množenje vektora reda i prvog vektora kolone iz tabele. Druga koordinata se izračunava na sličan način, ali umjesto prvog vektora stupca uzima se drugi vektor stupca. Evo opće formule za izračunavanje koordinata:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, gdje je y_k koordinata iz y-vektora, (k je između 1 i n), m je broj redova u matrici i broj koordinata u x-vektoru, n je broj stupaca u matrici i broj koordinata u y-vektoru, a sa alfanumeričkim indeksima su elementi matrice A.

Proizvod pravokutnih matrica

Ova kalkulacija može izgledati komplikovano. Međutim, množenje se lako izvodi. Počnimo s definicijom. Proizvod matrice A sa m redova i n kolona i matrice B sa n redova i p kolona je matrica C sa m redova i p kolona, u kojoj je element c_ij zbir proizvoda elemenata i-tog reda iz tabele A i j-te kolone iz tabele B. Jednostavnije rečeno, element c_ij je skalarni proizvod i-tog reda vektor iz tabele A i vektor j-te kolone iz tabele B.

Sada shvatimo u praksi kako pronaći proizvod pravokutnih matrica. Za ovo riješimo zadatak broj 3. Uslov postojanja proizvoda je zadovoljen. Počnimo računati elemente c_ij:

1. Matrix C će imati 2 reda i 3 kolone.
2. Izračunajte element c₁₁. Da bismo to učinili, izvodimo skalarni proizvod reda br. 1 iz matrice A i stupca br. 1 iz matrice B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Zatim nastavljamo na sličan način, mijenjajući samo redove, stupce (u zavisnosti od indeksa elementa).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Elementi su izračunati. Sada ostaje samo da napravite pravougaoni blok od primljenih brojeva.

16	12	9
31	18	36

Množenje tri matrice: teoretski dio

Možete li pronaći proizvod tri matrice? Ova računska operacija je izvodljiva. Rezultat se može dobiti na nekoliko načina. Na primjer, postoje 3 kvadratne tablice (istog reda) - A, B i C. Da biste izračunali proizvod, možete:

1. Prvo pomnožite A i B. Zatim pomnožite rezultat sa C.
2. Prvo pronađite proizvod B i C. Zatim pomnožite matricu A rezultatom.

Ako treba da pomnožite pravougaone matrice, prvo se morate uveriti da je ova računska operacija moguća. Trebalo bipostoje proizvodi A × B i B × C.

Inkrementalno množenje nije greška. Postoji nešto kao "asocijativnost množenja matrice". Ovaj izraz se odnosi na jednakost (A × B) × C=A × (B × C).

Vježba množenja tri matrice

Kvadratne matrice

Počnite množenjem malih kvadratnih matrica. Slika ispod prikazuje problem broj 4, koji moramo riješiti.

Koristit ćemo svojstvo asocijativnosti. Prvo množimo ili A i B, ili B i C. Pamtimo samo jednu stvar: ne možete zamijeniti faktore, to jest, ne možete množiti B × A ili C × B. Ovim množenjem dobićemo pogrešan rezultat.

Napredak odluke.

Prvi korak. Da bismo pronašli zajednički proizvod, prvo pomnožimo A sa B. Prilikom množenja dvije matrice, vodit ćemo se pravilima koja su gore navedena. Dakle, rezultat množenja A i B bit će matrica D sa 2 reda i 2 stupca, odnosno pravokutni niz će uključivati 4 elementa. Pronađimo ih izračunavanjem:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Srednji rezultat spreman.

30	10
15	16

Korak dva. Sada pomnožimo matricu D sa matricom C. Rezultat bi trebao biti kvadratna matrica G sa 2 reda i 2 kolone. Izračunajte elemente:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Dakle, rezultat proizvoda kvadratnih matrica je tabela G sa izračunatim elementima.

250	180
136	123

Pravougaone matrice

Slika ispod prikazuje problem broj 5. Potrebno je pomnožiti pravougaone matrice i pronaći rješenje.

Provjerimo da li je ispunjen uslov za postojanje proizvoda A × B i B × C. Redoslijed navedenih matrica nam omogućava da izvršimo množenje. Počnimo rješavati problem.

Napredak odluke.

Prvi korak. Pomnožite B sa C da dobijete D. Matrica B ima 3 reda i 4 kolone, a matrica C ima 4 reda i 2 kolone. To znači da ćemo dobiti matricu D sa 3 reda i 2 kolone. Izračunajmo elemente. Evo 2 primjera izračuna:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Nastavljamo sa rješavanjem problema. Kao rezultat daljih proračuna, nalazimo vrijednosti d₂₁, d₂ 2, d₃₁ i d₃₂. Ovi elementi su 0, 19, 1 i 11 respektivno. Zapišimo pronađene vrijednosti u pravougaoni niz.

0	7
0	19
1	11

Korak dva. Pomnožite A sa D da dobijete konačnu matricu F. Imaće 2 reda i 2 kolone. Izračunajte elemente:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Sastavite pravougaoni niz, koji je krajnji rezultat množenja tri matrice.

1	139
3	52

Uvod u direktni rad

Prilično teško razumljiv materijal je Kroneckerov proizvod matrica. Ima i dodatni naziv - direktno djelo. Šta se podrazumijeva pod ovim pojmom? Recimo da imamo tabelu A reda m × n i tabelu B reda p × q. Direktan proizvod matrice A i matrice B je matrica reda mp × nq.

Imamo 2 kvadratne matrice A, B koje su prikazane na slici. Prvi ima 2 kolone i 2 reda, a drugi ima 3 kolone i 3 reda. Vidimo da se matrica koja je rezultat direktnog proizvoda sastoji od 6 redova i potpuno istog broja kolona.

Kako se elementi nove matrice izračunavaju u direktnom proizvodu? Pronaći odgovor na ovo pitanje je vrlo lako ako analizirate sliku. Prvo popunite prvi red. Uzmite prvi element iz gornjeg reda tabele A i uzastopno pomnožite sa elementima prvog redaiz tabele B. Zatim uzmite drugi element prvog reda tabele A i uzastopno pomnožite sa elementima prvog reda tabele B. Da popunite drugi red, ponovo uzmite prvi element iz prvog reda tabele A i pomnožite sa elementima drugog reda tabele B.

Konačna matrica dobijena direktnim proizvodom naziva se blok matrica. Ako ponovo analiziramo sliku, možemo vidjeti da se naš rezultat sastoji od 4 bloka. Svi oni uključuju elemente matrice B. Dodatno, element svakog bloka se množi sa određenim elementom matrice A. U prvom bloku, svi elementi se množe sa a₁₁, u drugi - od _{12, u trećem - na} 21_{, u četvrtom - na} 22.

Odrednica proizvoda

Kada se razmatra tema množenja matrica, vrijedi uzeti u obzir termin kao što je “determinanta proizvoda matrica”. Šta je determinanta? Ovo je važna karakteristika kvadratne matrice, određena vrijednost koja se pripisuje ovoj matrici. Doslovna oznaka determinante je det.

Za matricu A koja se sastoji od dva stupca i dva reda, determinantu je lako pronaći. Postoji mala formula koja predstavlja razliku između proizvoda određenih elemenata:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Razmotrimo primjer izračunavanja determinante za tablicu drugog reda. Postoji matrica A u kojoj je a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 i a22_{=1. Za izračunavanje determinante koristite formulu:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

Za matrice 3 × 3, determinanta se izračunava pomoću složenije formule. Predstavljen je ispod za matricu A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Da zapamtimo formulu, smislili smo pravilo trougla, koje je ilustrovano na slici. Prvo se množe elementi glavne dijagonale. Dobijenoj vrijednosti dodaju se proizvodi onih elemenata označenih uglovima trokuta sa crvenim stranicama. Zatim se oduzima proizvod elemenata sekundarne dijagonale i oduzimaju se proizvodi tih elemenata označenih uglovima trokuta sa plavim stranicama.

Sada razgovarajmo o determinanti proizvoda matrica. Postoji teorema koja kaže da je ovaj indikator jednak proizvodu determinanti tablice množenja. Potvrdimo to na primjeru. Imamo matricu A sa unosima a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 i a22_{=1 i matrica B sa unosima b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 i b}22_{=2. Pronađite determinante za matrice A i B, proizvod A × B i determinantu ovog proizvoda.}

Napredak odluke.

Prvi korak. Izračunajte determinantu za A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Zatim izračunajte determinantu za B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Korak dva. Hajde da nađemoproizvod A × B. Označite novu matricu slovom C. Izračunajte njene elemente:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Treći korak. Izračunajte determinantu za C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Uporedite sa vrednošću koja se može dobiti množenjem determinanti originalnih matrica. Brojevi su isti. Gornja teorema je tačna.

Rang proizvoda

Rang matrice je karakteristika koja odražava maksimalan broj linearno nezavisnih redova ili kolona. Za izračunavanje ranga izvode se elementarne transformacije matrice:

• preuređenje dva paralelna reda;
• množenje svih elemenata određenog reda iz tabele brojem koji nije nula;
• dodavanje elementima jednog reda elemenata iz drugog reda, pomnoženo određenim brojem.

Nakon elementarnih transformacija, pogledajte broj nizova koji nisu nula. Njihov broj je rang matrice. Razmotrite prethodni primjer. Predstavlja 2 matrice: A sa elementima a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 i a₂₂ =1 i B sa elementima b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 i b}22_{=2. Koristićemo i matricu C dobijenu kao rezultat množenja. Ako izvršimo elementarne transformacije, tada u pojednostavljenim matricama neće biti nula reda. To znači da je i rang tabele A, i rang tabele B, i rangtabela C je 2.}

Sada obratimo posebnu pažnju na rang proizvoda matrica. Postoji teorema koja kaže da rang proizvoda tabela koje sadrže numeričke elemente ne prelazi rang nijednog od faktora. Ovo se može dokazati. Neka je A k × s matrica i B s × m matrica. Proizvod A i B jednak je C.

Proučimo sliku iznad. Prikazuje prvu kolonu matrice C i njenu pojednostavljenu notaciju. Ovaj stupac je linearna kombinacija kolona uključenih u matricu A. Slično, može se reći i za bilo koji drugi stupac iz pravokutnog niza C. Dakle, podprostor formiran od vektora stupaca tabele C nalazi se u podprostoru formiranom od vektori kolona tabele A. Prema tome, dimenzija podprostora br. 1 ne prelazi dimenziju podprostora br. 2. To implicira da rang u kolonama tabele C ne prelazi rang u kolonama tabele A, tj. r(C) ≦ r(A). Ako argumentiramo na sličan način, onda možemo biti sigurni da su redovi matrice C linearne kombinacije redova matrice B. Ovo implicira nejednakost r(C) ≦ r(B).

Kako pronaći proizvod matrica je prilično komplikovana tema. Može se lako savladati, ali da biste postigli takav rezultat, morat ćete potrošiti dosta vremena na pamćenje svih postojećih pravila i teorema.