Kako izračunati površinu piramide: baza, strana i puna?

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Kada se pripremaju za ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štaviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna sa bočnim stranama, pošto su trouglovi, onda je osnova uvijek drugačija.

Kako pronaći površinu osnove piramide?

Može biti apsolutno bilo kojeg oblika: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili netačna figura. U zadacima USE od interesa za školsku djecu postoje samo zadaci s tačnim ciframa u osnovi. Stoga ćemo pričati samo o njima.

pravilan trougao

To je jednakostrano. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina osnove piramide se izračunava po formuli:

S=(a2√3) / 4.

Kvadrat

Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija,ovdje je "a" opet strana:

S=a2.

Proizvoljni regularni n-gon

Strana poligona ima istu oznaku. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Kako izračunati bočnu i ukupnu površinu?

Pošto je osnova pravilna figura, sve strane piramide su jednake. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, potrebna vam je formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem strana baze.

Površina jednakokračnog trougla izračunava se po formuli u kojoj se polovina umnožaka baze pomnoži sa visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opšta formula za bočnu površinu je:

S=½ PA, gdje je P obim osnove piramide.

Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Tada bi trebalo koristiti ovu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:

S=n/2in2 sin α.

Problem 1

Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako je njena osnova jednakostraničan trokut sa stranicom od 4 cm, a apotema je √3 cm.

Odluka. NjegovoMorate početi s izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, onda je P=34=12 cm. Pošto je apotema poznata, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½12√3=6 √3 cm 2.

Za trougao na bazi, dobijate sljedeću vrijednost površine: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Da biste odredili ukupnu površinu, morate dodati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Odgovor. 10√3cm2.

Problem 2

Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina stranice baze je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Morate znati njegovu površinu.

Odluka. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, onda je njegova osnova kvadrat. Nakon što smo naučili površine baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve strane trougla. Stoga, možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.

Prvi proračuni su jednostavni i vode do ovog broja: 49 mm². Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 162): 2=19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Postoje samo četiri takva trougla, tako da kada izračunate konačni broj, morat ćete ga pomnožiti sa 4.}

Ispada: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Odgovor. Željena vrijednost 267, 576mm2.

Problem 3

Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. Zna stranu kvadrata - 6 cm i visinu - 4 cm.

Odluka. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo teži.

Moraćemo da zapamtimo Pitagorinu teoremu i razmotrimo pravougli trougao. Formira ga visina piramide i apotema, koja je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovini stranice kvadrata, pošto visina poliedra pada u njegovu sredinu.

Željena apotema (hipotenuza pravokutnog trougla) je √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: ½(46)5+6²=96 (pogledajte^2).

Odgovor. 96 cm2.

Problem 4

Stanje. Zadata je pravilna heksagonalna piramida. Bočne strane njegove osnove su 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?

Odluka. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo je tamo data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.

Pre svega, površina baze se izračunava koristeći gornju formulu: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Sada trebate saznati poluperimetar jednakokračnog trougla, koji je bočna strana. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm Ostaje izračunati površinu svake takvetrougao, a zatim ga pomnožite sa šest i dodajte onom koji je ispao za osnovu.

Izračunavanje po Heronovoj formuli: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Proračuni koji će dati površinu bočne površine: 6606=3960 cm². Ostaje da ih saberemo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217, 47≈5217 cm^2.

Odgovor. Baza - 726√3cm², bočna površina - 3960cm², ukupna površina - 5217cm^2.