U praksi se često javljaju zadaci koji zahtijevaju sposobnost građenja presjeka geometrijskih oblika različitih oblika i pronalaženja područja presjeka. U ovom članku ćemo pogledati koliko su važni presjeci prizme, piramide, konusa i cilindra građeni i kako izračunati njihove površine.
3D figure
Iz stereometrije je poznato da je trodimenzionalna figura apsolutno bilo koje vrste ograničena brojem površina. Na primjer, za takve poliedre kao što su prizma i piramida, ove površine su poligonalne stranice. Za cilindar i stožac govorimo o površinama okretanja cilindričnih i konusnih figura.
Ako uzmemo ravan i proizvoljno presečemo površinu trodimenzionalne figure, dobićemo presek. Njegova površina jednaka je površini dijela ravni koji će biti unutar volumena figure. Minimalna vrijednost ove površine je nula, što se ostvaruje kada ravan dodirne figuru. Na primjer, presjek koji je formiran od jedne točke dobija se ako ravan prolazi kroz vrh piramide ili konusa. Maksimalna vrijednost površine poprečnog presjeka ovisi orelativni položaj figure i ravni, kao i oblik i veličina figure.
U nastavku ćemo razmotriti kako izračunati površinu formiranih presjeka za dvije figure okretanja (cilindar i konus) i dva poliedra (piramida i prizma).
Cilindar
Kružni cilindar je figura rotacije pravougaonika oko bilo koje njegove strane. Cilindar karakteriziraju dva linearna parametra: polumjer baze r i visina h. Dijagram ispod pokazuje kako izgleda kružni pravi cilindar.
Postoje tri važne vrste sekcija za ovu cifru:
- okrugla;
- pravokutni;
- eliptični.
Eliptični nastaje kao rezultat ravnine koja siječe bočnu površinu figure pod nekim uglom u odnosu na njenu osnovu. Okrugla je rezultat presjeka ravnine reza bočne površine paralelne s bazom cilindra. Konačno, pravougaoni se dobija ako je rezna ravan paralelna sa osom cilindra.
Kružna površina se izračunava po formuli:
S1=pir2
Oblast aksijalnog preseka, odnosno pravougaonog, koja prolazi kroz osu cilindra, definisana je na sledeći način:
S2=2rh
konusne sekcije
Konus je figura rotacije pravouglog trougla oko jedne od kateta. Konus ima jedan vrh i okruglu osnovu. Njegovi parametri su također radijus r i visina h. Primjer papirnog konusa je prikazan ispod.
Postoji nekoliko tipova konusnih presjeka. Nabrojimo ih:
- okrugla;
- eliptični;
- parabolični;
- hiperbolični;
- trokutasti.
Oni se međusobno zamjenjuju ako povećate ugao nagiba sekantne ravni u odnosu na okruglu osnovu. Najlakši način je da zapišete formule za površinu poprečnog presjeka kružnog i trokutastog.
Kružni presek nastaje kao rezultat preseka konične površine sa ravninom koja je paralelna bazi. Za njegovu površinu vrijedi sljedeća formula:
S1=pir2z2/h 2
Ovde z je rastojanje od vrha figure do formiranog preseka. Može se vidjeti da ako je z=0, tada ravan prolazi samo kroz vrh, pa će površina S1 biti jednaka nuli. Od z < h, površina presjeka koji se proučava uvijek će biti manja od njegove vrijednosti za bazu.
Trougao se dobija kada ravan siječe lik duž njegove ose rotacije. Oblik rezultirajućeg presjeka bit će jednakokraki trokut, čije su stranice promjer osnove i dva generatora konusa. Kako pronaći površinu poprečnog presjeka trokuta? Odgovor na ovo pitanje bit će sljedeća formula:
S2=rh
Ova jednakost se dobija primjenom formule za površinu proizvoljnog trougla kroz dužinu njegove osnove i visine.
Prism sections
Prizma je velika klasa figura koje karakteriše prisustvo dve identične poligonalne baze paralelne jedna s drugom,povezane paralelogramima. Bilo koji dio prizme je poligon. S obzirom na raznolikost figura koje se razmatraju (kose, prave, n-ugaone, pravilne, konkavne prizme), raznolikost njihovih presjeka je također velika. U nastavku razmatramo samo neke posebne slučajeve.
Ako je rezna ravnina paralelna sa bazom, tada će površina poprečnog presjeka prizme biti jednaka površini ove baze.
Ako ravan prolazi kroz geometrijske centre dviju osnova, odnosno paralelna je sa bočnim ivicama figure, tada se u presjeku formira paralelogram. U slučaju ravnih i pravilnih prizmi, razmatrani presek će biti pravougaonik.
Piramida
Piramida je još jedan poliedar koji se sastoji od n-ugla i n trouglova. Primjer trouglaste piramide je prikazan ispod.
Ako je presjek nacrtan ravninom paralelnom sa n-gonalnom bazom, tada će njen oblik biti potpuno jednak obliku baze. Površina takvog presjeka izračunava se po formuli:
S1=So(h-z)2/h 2
Gdje je z udaljenost od baze do ravnine presjeka, So je površina baze.
Ako rezna ravan sadrži vrh piramide i siječe njenu osnovu, onda dobijamo trouglasti presjek. Da biste izračunali njegovu površinu, morate koristiti odgovarajuću formulu za trokut.
