Koncept prizme. Formule volumena za prizme različitih tipova: pravilne, ravne i kose. Rješenje problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Zapremina je karakteristika svake figure koja ima dimenzije različite od nule u sve tri dimenzije prostora. U ovom članku, sa stanovišta stereometrije (geometrije prostornih figura), razmotrićemo prizmu i pokazati kako pronaći zapremine prizmi različitih tipova.

Šta je prizma?

Stereometry ima tačan odgovor na ovo pitanje. Pod prizmom u njoj se podrazumijeva figura koju čine dva identična poligonalna lica i nekoliko paralelograma. Slika ispod prikazuje četiri različite prizme.

Svaki od njih se može dobiti na sljedeći način: potrebno je uzeti poligon (trokut, četverougao i tako dalje) i segment određene dužine. Zatim svaki vrh poligona treba prenijeti pomoću paralelnih segmenata u drugu ravan. U novoj ravni, koja će biti paralelna sa originalnom, dobiće se novi poligon, sličan onom koji je prvobitno izabran.

Prizme mogu biti različitih tipova. Dakle, mogu biti ravni, kosi i pravilni. Ako bočna ivica prizme (segment,spajanje vrhova baza) okomito na osnove figure, tada je potonja prava linija. Prema tome, ako ovaj uslov nije ispunjen, onda govorimo o nagnutoj prizmi. Pravilna figura je prava prizma sa jednakougaonom i jednakostraničnom bazom.

Kasnije u članku ćemo pokazati kako izračunati zapreminu svake od ovih vrsta prizmi.

Zapremina regularnih prizmi

Počnimo s najjednostavnijim slučajem. Dajemo formulu za zapreminu pravilne prizme sa n-gonalnom bazom. Formula volumena V za bilo koju figuru klase koja se razmatra je sljedeća:

V=S_oh.

To jest, da bi se odredio volumen, dovoljno je izračunati površinu jedne od baza S_o i pomnožiti je visinom h figure.

U slučaju pravilne prizme, dužinu stranice njene osnove označimo slovom a, a visinu, koja je jednaka dužini bočne ivice, slovom h. Ako je osnova n-ugla tačna, tada je najlakši način da izračunate njegovu površinu da koristite sljedeću univerzalnu formulu:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Zamjenjujući vrijednost broja stranica n i dužine jedne strane a u jednakost, možete izračunati površinu n-gonalne baze. Imajte na umu da je kotangens funkcija ovdje izračunata za ugao pi/n, koji je izražen u radijanima.

S obzirom na jednakost napisanu za S, dobijamo konačnu formulu za zapreminu pravilne prizme:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Za svaki konkretan slučaj možete napisati odgovarajuće formule za V, ali svejedinstveno proizilaze iz pisanog opšteg izraza. Na primjer, za pravilnu četverokutnu prizmu, koja je u općem slučaju pravokutni paralelepiped, dobijamo:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Ako uzmemo h=a u ovom izrazu, onda ćemo dobiti formulu za zapreminu kocke.

Zapremina direktnih prizmi

Odmah napominjemo da za ravne figure ne postoji opšta formula za izračunavanje zapremine, koja je gore data za pravilne prizme. Prilikom pronalaženja dotične vrijednosti treba koristiti originalni izraz:

V=S_oh.

Ovde je h dužina bočne ivice, kao u prethodnom slučaju. Što se tiče osnovne površine S_o, ona može poprimiti različite vrijednosti. Zadatak izračunavanja ravne prizme zapremine svodi se na pronalaženje površine njene osnove.

Obračun vrijednosti S_o treba izvršiti na osnovu karakteristika same baze. Na primjer, ako je trokut, tada se površina može izračunati ovako:

S_o3=1/2ah_a.

Ovde h_a je apotema trougla, odnosno njegova visina spuštena na osnovu a.

Ako je osnova četvorougao, onda to može biti trapez, paralelogram, pravougaonik ili potpuno proizvoljan tip. Za sve ove slučajeve trebate koristiti odgovarajuću formulu planimetrije za određivanje površine. Na primjer, za trapez ova formula izgleda ovako:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Gdje je h_a visina trapeza, a₁ i a₂ su dužine njegovih paralelnih strana.

Da biste odredili površinu za poligone višeg reda, trebate ih podijeliti na jednostavne oblike (trokute, četverouglove) i izračunati zbir površina potonjih.

Tilted Prism Volume

Ovo je najteži slučaj izračunavanja zapremine prizme. Opća formula za takve brojke također vrijedi:

V=S_oh.

Međutim, na složenost pronalaženja površine baze koja predstavlja proizvoljni tip poligona, dodaje se i problem određivanja visine figure. Ona je uvijek manja od dužine bočne ivice u kosoj prizmi.

Najlakši način da pronađete ovu visinu je ako znate bilo koji ugao figure (ravni ili diedarski). Ako je zadan takav ugao, onda ga treba koristiti za konstruiranje pravokutnog trokuta unutar prizme, koji bi sadržavao visinu h kao jednu od stranica i, koristeći trigonometrijske funkcije i Pitagorinu teoremu, pronaći vrijednost h.

Problem geometrijskog volumena

Data je pravilna prizma sa trouglastom osnovom, visine 14 cm i dužine stranice od 5 cm. Koliki je volumen trouglaste prizme?

Pošto je riječ o ispravnoj cifri, imamo pravo koristiti dobro poznatu formulu. Imamo:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trokutasta prizma je prilično simetrična figura, u obliku koje se često prave različite arhitektonske strukture. Ova staklena prizma se koristi u optici.