Bočna površina pravilnog i skraćenog konusa. Formule i primjer rješavanja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Kada se razmatraju figure u prostoru, često se javljaju problemi u određivanju njihove površine. Jedna takva figura je konus. Razmotrite u članku šta je bočna površina stošca sa okruglom bazom, kao i krnjeg stošca.

konus sa okruglom bazom

Pre nego što pređemo na razmatranje bočne površine stošca, pokazaćemo o kakvoj se figuri radi i kako da je dobijemo geometrijskim metodama.

Uzmite pravougli trougao ABC, gdje su AB i AC kraci. Stavimo ovaj trougao na krak AC i zarotirajmo ga oko kraka AB. Kao rezultat toga, strane AC i BC opisuju dvije površine figure prikazane ispod.

Broj dobijen rotacijom naziva se okrugli pravi konus. Okrugla je jer mu je osnova kružnica, a ravna jer okomita povučena iz vrha figure (tačka B) siječe kružnicu u njegovom središtu. Dužina ove okomice naziva se visina. Očigledno, jednaka je kraku AB. Visina se obično označava slovom h.

Pored visine, razmatrani konus je opisan sa još dvije linearne karakteristike:

• generiranje, ili generatriksa (hipotenuza BC);
• osnovni poluprečnik (kraka AC).

Poluprečnik će biti označen slovom r, a generatoratriksa g. Zatim, uzimajući u obzir Pitagorinu teoremu, možemo zapisati jednakost važnu za figuru koja se razmatra:

g²=h²+ r²

Konična površina

Ukupnost svih generatricija formira konusnu ili bočnu površinu stošca. Po izgledu je teško reći kojoj ravnoj figuri odgovara. Potonje je važno znati pri određivanju površine stožaste površine. Za rješavanje ovog problema koristi se metoda sweep. Sastoji se u sljedećem: površina se mentalno reže duž proizvoljne generatrise, a zatim se odvija na ravni. Ovom metodom dobijanja zamaha, formira se sljedeća ravna figura.

Kao što možete pretpostaviti, krug odgovara bazi, ali kružni sektor je konusna površina, čija površina nas zanima. Sektor je omeđen dvjema generatrima i lukom. Dužina potonjeg je tačno jednaka perimetru (dužini) obima baze. Ove karakteristike jedinstveno određuju sva svojstva kružnog sektora. Nećemo davati srednje matematičke proračune, već odmah zapišite konačnu formulu pomoću koje možete izračunati površinu bočne površine konusa. Formula je:

S_b=pigr

Površina konične površine S_b jednaka je proizvodu dva parametra i Pi.

Skrnji konus i njegova površina

Ako uzmemo običan konus i odrežemo njegov vrh paralelnom ravninom, preostala figura će biti skraćeni konus. Njegova bočna površina ograničena je sa dvije okrugle baze. Označimo njihove polumjere kao R i r. Visinu figure označavamo sa h, a generatricu sa g. Ispod je izrez na papiru za ovu figuru.

Vidi se da bočna površina više nije kružni sektor, već je manja po površini, pošto je od nje odsječen središnji dio. Razvoj je ograničen na četiri prave, dvije od njih su pravi segmenti-generatori, druge dvije su lukovi sa dužinama odgovarajućih kružnica osnova krnjeg konusa.

Bočna površina S_bizračunato na sljedeći način:

S_b=pig(r + R)

Generatrisa, radijusi i visina povezani su sljedećom jednakošću:

g²=h²+ (R - r)²

Problem sa jednakošću površina figura

Dat je konus visine 20 cm i poluprečnika osnove 8 cm. Potrebno je pronaći visinu krnjeg konusa čija će bočna površina imati istu površinu kao i ovaj konus. Skraćena figura je izgrađena na istoj osnovi, a poluprečnik gornje osnove je 3 cm.

Pre svega, zapišimo uslov jednakosti površina konusa i skraćene figure. Imamo:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Sada napišemo izraze za generatrice svakog oblika:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Zamijenite g₁ i g₂ u formulu za jednake površine i kvadrirajte lijevu i desnu stranu, dobijamo:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Odakle dobijamo izraz za h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Nećemo pojednostavljivati ovu jednakost, već ćemo jednostavno zamijeniti podatke poznate iz uslova:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Dakle, da bi se izjednačile površine bočnih površina figura, skraćeni konus mora imati parametre: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm