Prizma je prilično jednostavna geometrijska trodimenzionalna figura. Ipak, neki školarci imaju problema u određivanju njegovih glavnih svojstava, čiji je uzrok, u pravilu, povezan s pogrešno korištenom terminologijom. U ovom članku ćemo razmotriti šta su prizme, kako se zovu, a također ćemo detaljno opisati ispravnu četverokutnu prizmu.
Prizma u geometriji
Proučavanje trodimenzionalnih figura je zadatak stereometrije - važan dio prostorne geometrije. U stereometriji, prizma se podrazumijeva kao takva figura, koja nastaje paralelnim prevođenjem proizvoljnog ravnog poligona na određenoj udaljenosti u prostoru. Paralelno prevođenje podrazumijeva kretanje u kojem je potpuno isključena rotacija oko ose okomite na ravan poligona.
Kao rezultat opisane metode dobijanja prizme, formira se figura ograničena sa dvapoligoni istih dimenzija, koji leže u paralelnim ravnima, i određeni broj paralelograma. Njihov broj se poklapa sa brojem stranica (vrhova) poligona. Identični poligoni nazivaju se osnove prizme, a njihova površina je površina baza. Paralelogrami koji spajaju dvije baze čine bočnu površinu.
Elementi prizme i Ojlerova teorema
Pošto je trodimenzionalna figura koja se razmatra poliedar, odnosno formirana je skupom ravnina koje se seku, karakteriše ga određeni broj vrhova, ivica i lica. Sve su to elementi prizme.
Sredinom 18. veka, švajcarski matematičar Leonhard Euler uspostavio je vezu između broja osnovnih elemenata poliedra. Ovaj odnos je napisan sljedećom jednostavnom formulom:
Broj ivica=broj vrhova + broj lica - 2
Za bilo koju prizmu, ova jednakost je tačna. Navedimo primjer njegove upotrebe. Pretpostavimo da postoji pravilna četvorougaona prizma. Ona je na slici ispod.
Može se vidjeti da je broj vrhova za njega 8 (4 za svaku četvorougaonu osnovu). Broj stranica ili strana je 6 (2 baze i 4 bočna pravokutnika). Tada će broj ivica za to biti:
Broj rebara=8 + 6 - 2=12
Svi se mogu izbrojati ako se pozivate na istu sliku. Osam ivica leži na osnovama, a četiri ivice su okomite na ove baze.
Puna klasifikacija prizmi
Važno je razumjeti ovu klasifikaciju kako se kasnije ne biste zbunili u terminologiji i koristili ispravne formule za izračunavanje, na primjer, površine ili zapremine figura.
Za bilo koju prizmu proizvoljnog oblika mogu se izdvojiti 4 karakteristike koje će je karakterizirati. Nabrojimo ih:
- Prema broju uglova poligona u osnovi: trouglasti, petougaoni, osmougaoni i tako dalje.
- Tip poligona. Može biti ispravno ili pogrešno. Na primjer, pravokutni trokut je nepravilan, ali je jednakostraničan trokut ispravan.
- Prema tipu konveksnosti poligona. Može biti konkavna ili konveksna. Konveksne prizme su najčešće.
- Pod uglovima između baza i bočnih paralelograma. Ako su svi ovi uglovi jednaki 90o, onda govore o pravoj prizmi, ako nisu svi pravi, onda se takva figura naziva kosom.
Od svih ovih tačaka, želio bih se zadržati na posljednjoj. Prava prizma se još naziva i pravougaona prizma. To je zbog činjenice da su za njega paralelogrami pravokutnici u opštem slučaju (u nekim slučajevima mogu biti kvadrati).
Na primjer, gornja slika prikazuje peterokutnu konkavnu pravokutnu ili ravnu figuru.
Pravila četverokutna prizma
Osnova ove prizme je pravilan četvorougao, odnosno kvadrat. Slika iznad je već pokazala kako ova prizma izgleda. Pored dva kvadrata koja jojograničiti vrh i dno, također uključuje 4 pravokutnika.
Označimo stranu osnove pravilne četvorougaone prizme slovom a, dužina njene bočne ivice biće označena slovom c. Ova dužina je ujedno i visina figure. Tada se površina cijele površine ove prizme izražava formulom:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Ovdje prvi član odražava doprinos baza ukupnoj površini, drugi član je površina bočne površine.
Uzimajući u obzir uvedene oznake za dužine stranica, pišemo formulu za zapreminu dotične figure:
V=a2c
Odnosno, zapremina se izračunava kao proizvod površine kvadratne osnove i dužine bočne ivice.
Oblik kocke
Svi znaju ovu idealnu trodimenzionalnu figuru, ali malo ljudi je mislilo da je to pravilna četvorougaona prizma, čija je stranica jednaka dužini stranice kvadratne osnove, odnosno c=a.
Za kocku, formule za ukupnu površinu i zapreminu će imati oblik:
S=6a2
V=a3
Pošto je kocka prizma koja se sastoji od 6 identičnih kvadrata, svaki njihov paralelni par se može smatrati bazom.
Kocka je visoko simetrična figura, koja se u prirodi ostvaruje u obliku kristalnih rešetki mnogih metalnih materijala i jonskih kristala. Na primjer, rešetke od zlata, srebra, bakra i stolasoli su kubične.
