Kada proučavate apsolutno bilo koju prostornu figuru, važno je znati kako izračunati njen volumen. Ovaj članak daje formulu za zapreminu pravilne četvorougaone piramide, a takođe pokazuje kako ovu formulu treba koristiti na primeru rešavanja problema.
O kojoj piramidi govorimo?
Svaki srednjoškolac zna da je piramida poliedar koji se sastoji od trouglova i mnogougla. Potonji je osnova figure. Trokuti imaju jednu zajedničku stranu sa bazom i seku se u jednoj tački, koja je vrh piramide.
Svaku piramidu karakteriše dužina stranica osnove, dužina bočnih ivica i visina. Potonji je okomit segment, spušten na bazu sa vrha figure.
Pravilna četvorougaona piramida je figura sa kvadratnom osnovom, čija visina seče ovaj kvadrat u njegovom centru. Možda najpoznatiji primjer ove vrste piramida su staroegipatske kamene građevine. Ispod je fotografijaKeopsove piramide.
Proučavana figura ima pet lica, od kojih su četiri identična jednakokračna trougla. Takođe ga karakteriše pet vrhova, od kojih četiri pripadaju bazi, i osam ivica (4 ivice baze i 4 ivice bočnih strana).
Formula za zapreminu četvorougaone piramide je tačna
Obim dotične figure je dio prostora koji je ograničen sa pet strana. Za izračunavanje ovog volumena koristimo sljedeću ovisnost površine isječka paralelnog osnovici piramide Sz od vertikalne koordinate z:
Sz=So (h - z/h)2
Ovdje So je površina kvadratne osnove. Ako zamijenimo z=h u pisani izraz, onda ćemo dobiti nultu vrijednost za Sz. Ova vrijednost z odgovara isječku koji će sadržavati samo vrh piramide. Ako je z=0, tada dobijamo vrijednost površine baze So.
Lako je pronaći zapreminu piramide ako znate funkciju Sz(z), za to je dovoljno iseći figuru na beskonačan broj slojeva paralelno sa bazom, a zatim izvode operaciju integracije. Pratim ovu tehniku, dobijamo:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Zato što je S0površinu kvadratne osnove, zatim, označavajući stranu kvadrata slovom a, dobijamo formulu za zapreminu pravilne četvorougaone piramide:
V=1/3a2h.
Sada koristimo primjere rješavanja problema da pokažemo kako ovaj izraz treba primijeniti.
Problem određivanja zapremine piramide preko njene apoteme i bočne ivice
Apotem piramide je visina njenog bočnog trougla, koji je spušten na stranu osnove. Pošto su svi trouglovi jednaki u pravilnoj piramidi, njihovi apotemi će takođe biti isti. Označimo njegovu dužinu simbolom hb. Označite bočnu ivicu kao b.
Znajući da je apotema piramide 12 cm, a njena bočna ivica 15 cm, pronađite zapreminu pravilne četvorougaone piramide.
Formula za zapreminu figure napisana u prethodnom pasusu sadrži dva parametra: dužinu stranice a i visinu h. Trenutno ne poznajemo nijednog od njih, pa pogledajmo njihove proračune.
Dužinu stranice kvadrata a lako je izračunati ako koristite Pitagorinu teoremu za pravokutni trokut, u kojem je hipotenuza rub b, a katete apotema h b i polovina stranice baze a/2. Dobijamo:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Zamjenom poznatih vrijednosti iz uslova dobijamo vrijednost a=18 cm.
Da biste izračunali visinu h piramide, možete učiniti dvije stvari: razmotriti pravougaoniktrokut s hipotenuzom-bočnim rubom ili s hipotenuzom-apotemom. Obje metode su jednake i uključuju izvođenje istog broja matematičkih operacija. Zaustavimo se na razmatranju trougla, gdje je hipotenuza apotema hb. Noge u njemu će biti h i a / 2. Tada dobijamo:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Sada možete koristiti formulu za volumen V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Dakle, zapremina pravilne četvorougaone piramide je približno 0,86 litara.
Zapremina Keopsove piramide
Rešimo sada zanimljiv i praktično važan problem: pronađite zapreminu najveće piramide u Gizi. Iz literature je poznato da je prvobitna visina objekta bila 146,5 metara, a dužina njegove osnove 230,363 metara. Ovi brojevi nam omogućavaju da primijenimo formulu za izračunavanje V. Dobijamo:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Rezultirajuća vrijednost je skoro 2,6 miliona m3. Ovaj volumen odgovara zapremini kocke čija je stranica 137,4 metara.
