Površina bočne površine pravilne četverokutne piramide: formule i primjeri problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Tipični geometrijski problemi u ravni i u trodimenzionalnom prostoru su problemi određivanja površina različitih oblika. U ovom članku predstavljamo formulu za površinu bočne površine pravilne četverokutne piramide.

Šta je piramida?

Dajmo striktnu geometrijsku definiciju piramide. Pretpostavimo da postoji neki poligon sa n strana i n uglova. Biramo proizvoljnu tačku u prostoru koja neće biti u ravni navedenog n-ugla i povezujemo je sa svakim vrhom poligona. Dobićemo figuru koja ima neki volumen, a koja se zove n-kutna piramida. Na primjer, pokažimo na slici ispod kako izgleda petougaona piramida.

Dva važna elementa svake piramide su njena osnova (n-ugao) i vrh. Ovi elementi su međusobno povezani sa n trouglova, koji generalno nisu jednaki jedan drugom. Okomito ispušteno izod vrha do dna naziva se visina figure. Ako siječe bazu u geometrijskom centru (poklapa se sa centrom mase poligona), tada se takva piramida naziva prava linija. Ako je, pored ovog uslova, osnova pravilan poligon, onda se cijela piramida naziva pravilnom. Slika ispod pokazuje kako izgledaju pravilne piramide sa trouglastim, četverouglastim, peterokutnim i šesterokutnim osnovama.

Površina piramide

Pre nego što pređemo na pitanje površine bočne površine pravilne četvorougaone piramide, trebalo bi da se zadržimo na konceptu same površine.

Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaka piramida je formirana skupom lica ili stranica. Jedna strana je baza, a n strana su trouglovi. Površina cijele figure je zbir površina svake njene strane.

Pogodno je proučavati površinu na primjeru figure koja se odvija. Skeniranje za pravilnu četvorougaonu piramidu prikazano je na slikama ispod.

Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri površine identičnih jednakokračnih trouglova i površine kvadrata.

Ukupna površina svih trouglova koji čine stranice figure naziva se površina bočne površine. Zatim ćemo pokazati kako to izračunati za pravilnu četvorougaonu piramidu.

Površina bočne površine četvorougaone pravilne piramide

Za izračunavanje površine bočne stranepovršine navedene figure, ponovo se okrećemo gore navedenom skeniranju. Pretpostavimo da znamo stranu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Može se vidjeti da svaki od četiri identična trougla ima osnovu dužine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz kursa geometrije je poznato da je površina trougla S_{t jednaka umnošku osnove i visine, koju treba podijeliti na pola. To je:}

S_t=1/2h_ba.

Gdje je h_b visina jednakokračnog trougla povučenog na osnovu a. Za piramidu, ova visina je apotema. Sada ostaje da se dobijeni izraz pomnoži sa 4 da dobijete površinu S_{bbočne površine za dotičnu piramidu:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranu baze. Ako je ovo drugo poznato u većini uslova problema, onda se prvo mora izračunati znajući druge veličine. Evo formula za izračunavanje apoteme h_{b za dva slučaja:}

• kada je poznata dužina bočnog rebra;
• kada se zna visina piramide.

Ako dužinu bočne ivice (stranicu jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada je apotema h_{b određena formulom:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorine teoreme za trokut bočne površine.

Ako je poznatovisina h piramide, tada se apotema h_{b može izračunati na sljedeći način:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Dobivanje ovog izraza također nije teško ako unutar piramide razmotrimo pravokutni trokut formiran od kateta h i a/2 i hipotenuze h_b.

Pokažimo kako primijeniti ove formule rješavanjem dva zanimljiva problema.

Problem sa poznatom površinom

Poznato je da je bočna površina pravilne četvorougaone piramide 108 cm². Potrebno je izračunati vrijednost dužine njene apoteme h_{b, ako je visina piramide 7 cm.}

Napišimo formulu za površinu S_{bbočne površine kroz visinu. Imamo:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Ovdje smo upravo zamijenili odgovarajuću apotema formulu u izraz za S_{b. Kvadirajmo obje strane jednadžbe:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Da pronađemo vrijednost a, napravimo promjenu varijabli:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Sada zamjenjujemo poznate vrijednosti i rješavamo kvadratnu jednačinu:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Napisali smo samo pozitivan korijen ove jednadžbe. Tada će stranice osnove piramide biti:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

Da dobijete dužinu apoteme,samo koristite formulu:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 vidi}

Bočna površina Keopsove piramide

Odredite vrijednost bočne površine za najveću egipatsku piramidu. Poznato je da u njegovoj osnovi leži kvadrat sa dužinom stranice od 230.363 metara. Visina konstrukcije je prvobitno bila 146,5 metara. Zamijenite ove brojeve u odgovarajuću formulu za S_{b, dobićemo:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Pronađena vrijednost je nešto veća od površine 17 fudbalskih terena.