Cilindar: bočna površina. Formula za površinu bočne površine cilindra

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Kada se proučava stereometrija, jedna od glavnih tema je "Cilindar". Bočna površina se smatra, ako ne glavnom, onda važnom formulom u rješavanju geometrijskih problema. Međutim, važno je zapamtiti definicije koje će vam pomoći da se krećete kroz primjere i prilikom dokazivanja različitih teorema.

Koncept cilindra

Prvo moramo razmotriti nekoliko definicija. Tek nakon njihovog proučavanja može se početi razmatrati pitanje formule za površinu bočne površine cilindra. Na osnovu ovog unosa mogu se izračunati drugi izrazi.

• Cilindrična površina se shvata kao ravan opisana generatricom, koja se kreće i ostaje paralelna datom pravcu, klizi duž postojeće krive.
• Postoji i druga definicija: cilindrična površina je formirana skupom paralelnih linija koje seku datu krivu.
• Generativna se konvencionalno naziva visinom cilindra. Kada se kreće oko ose koja prolazi kroz centar baze,dobijeno je naznačeno geometrijsko tijelo.
• Pod osom se podrazumeva prava linija koja prolazi kroz obe baze figure.
• Cilindar je stereometrično tijelo omeđeno bočnom površinom koja se ukršta i 2 paralelne ravni.

Postoje varijante ove trodimenzionalne figure:

1. Kružni je cilindar čija je vodilica kružnica. Njegove glavne komponente su polumjer baze i generatriksa. Potonji je jednak visini figure.
2. Postoji pravi cilindar. Ime je dobila zbog okomitosti generatrikse na osnovice figure.
3. Treća vrsta je zakošeni cilindar. U udžbenicima možete pronaći i drugi naziv za njega - "kružni cilindar sa zakošenom bazom". Ova cifra definira radijus baze, minimalnu i maksimalnu visinu.
4. Pod jednakim cilindrom se smatra tijelo koje ima jednaku visinu i prečnik kružne ravni.

Simboli

Tradicionalno, glavne "komponente" cilindra nazivaju se na sljedeći način:

• Poluprečnik baze je R (takođe zamjenjuje istu vrijednost stereometričke figure).
• Generativno – L.
• Visina – H.
• Osnovna površina - S_{baza(drugim riječima, potrebno je pronaći specificirani parametar kruga).}
• Visine cilindra sa kosom – h₁, h_{2(minimum i maksimum).}
• Površina bočne površine - S_{strana (ako je proširite, dobićeteneka vrsta pravougaonika).}
• Obim stereometričke figure - V.
• Ukupna površina – S.

“Komponente” stereometričke figure

Kada se proučava cilindar, bočna površina igra važnu ulogu. To je zbog činjenice da je ova formula uključena u nekoliko drugih, složenijih. Zbog toga je potrebno biti dobro upućen u teoriju.

Glavne komponente figure su:

1. Bočna površina. Kao što znate, dobija se pomeranjem generatrike duž date krive.
2. Puna površina uključuje postojeće baze i bočnu ravninu.
3. Presjek cilindra, po pravilu, je pravougaonik koji se nalazi paralelno sa osom figure. Inače se zove avion. Ispostavilo se da su dužina i širina povremene komponente drugih figura. Dakle, uslovno, dužine sekcije su generatori. Širina - paralelni akordi stereometričke figure.
4. Aksijalni presjek označava lokaciju ravnine kroz centar tijela.
5. I konačno, konačna definicija. Tangenta je ravan koja prolazi kroz generatrisu cilindra i pod pravim uglom u odnosu na aksijalni presjek. U ovom slučaju mora biti ispunjen jedan uslov. Navedena generatriksa mora biti uključena u ravninu aksijalnog presjeka.

Osnovne formule za rad sa cilindrom

Da bismo odgovorili na pitanje kako pronaći površinu cilindra, potrebno je proučiti glavne "komponente" stereometrijske figure i formule za njihovo pronalaženje.

Ove formule se razlikuju po tome što su prvo dati izrazi za zakošeni cilindar, a zatim za ravan.

Dekonstruisani primjeri

Zadatak 1.

Potrebno je znati površinu bočne površine cilindra. Zadana je dijagonala presjeka AC=8 cm (štaviše, aksijalna je). Kada je u kontaktu sa generatricom, ispada _<ACD=30°

Odluka. Pošto su vrijednosti dijagonale i ugla poznate, onda u ovom slučaju:

CD=ACcos 30°

Komentar. Trokut ACD, u ovom konkretnom primjeru, je pravokutni trokut. To znači da je količnik dijeljenja CD i AC=kosinus datog ugla. Vrijednost trigonometrijskih funkcija može se naći u posebnoj tabeli.

Slično, možete pronaći vrijednost AD:

AD=ACsin 30°

Sada morate izračunati željeni rezultat koristeći sljedeću formulaciju: površina bočne površine cilindra jednaka je dvostrukom rezultatu množenja "pi", polumjera figure i njegove visine. Treba koristiti i drugu formulu: površina baze cilindra. To je jednako rezultatu množenja "pi" kvadratom polumjera. I na kraju, posljednja formula: ukupna površina. Jednako je zbiru prethodne dvije oblasti.

Zadatak 2.

Cilindri su dati. Njihov volumen=128n cm³. Koji cilindar ima najmanjipuna površina?

Odluka. Prvo morate koristiti formule za pronalaženje volumena figure i njene visine.

Pošto je ukupna površina cilindra poznata iz teorije, mora se primijeniti njegova formula.

Ako dobijenu formulu razmotrimo kao funkciju površine cilindra, tada će se minimalni "indikator" postići u tački ekstrema. Da biste dobili posljednju vrijednost, trebate koristiti diferencijaciju.

Formule se mogu pogledati u posebnoj tabeli za pronalaženje derivata. U budućnosti, pronađeni rezultat se izjednačava sa nulom i rješenje jednačine se nalazi.

Odgovor: S_{min će se postići na h=1/32 cm, R=64 cm.}

Problem 3.

Dana stereometrijska figura - cilindar i presjek. Potonji se izvodi na takav način da se nalazi paralelno s osi stereometrijskog tijela. Cilindar ima sljedeće parametre: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Potrebno je pronaći rastojanje između presjeka i ose.

Odluka.

Budući da je poprečni presjek cilindra VSCM, tj. pravougaonik, njegova stranica VM=h. WMC treba uzeti u obzir. Trougao je pravougaonog oblika. Na osnovu ove tvrdnje možemo izvesti tačnu pretpostavku da je MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Odavde možemo zaključiti da je MK=BC=8 cm.

Sljedeći korak je crtanje presjeka kroz bazu figure. Potrebno je uzeti u obzir rezultujuću ravan.

AD – prečnik stereometričke figure. Paralelno je sa odjeljkom spomenutim u opisu problema.

BC je prava linija koja se nalazi na ravni postojećeg pravougaonika.

ABCD je trapez. U određenom slučaju, smatra se jednakokračnim, jer je oko njega opisan krug.

Ako pronađete visinu rezultirajućeg trapeza, možete dobiti odgovor dat na početku zadatka. Naime: pronalaženje udaljenosti između ose i nacrtanog presjeka.

Da biste to učinili, morate pronaći vrijednosti AD i OS.

Odgovor: presjek se nalazi 3 cm od ose.

Problemi sa konsolidacijom materijala

Primjer 1.

Cilindar dat. Bočna površina se koristi u daljnjem rješenju. Druge opcije su poznate. Površina osnove je Q, površina aksijalnog presjeka je M. Potrebno je pronaći S. Drugim riječima, ukupna površina cilindra.

Primjer 2.

Cilindar dat. Bočna površina mora se pronaći u jednom od koraka rješavanja problema. Poznato je da je visina=4 cm, poluprečnik=2 cm. Potrebno je pronaći ukupnu površinu stereometričke figure.