Površina bočne površine i zapremina skraćene piramide: formule i primjer rješavanja tipičnog problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Kada se proučavaju svojstva figura u trodimenzionalnom prostoru u okviru stereometrije, često se moraju rješavati problemi za određivanje volumena i površine. U ovom članku ćemo pokazati kako izračunati zapreminu i bočnu površinu za skraćenu piramidu koristeći dobro poznate formule.

Piramida u geometriji

U geometriji, obična piramida je lik u prostoru, koji je izgrađen na nekom ravnom n-ugla. Svi njegovi vrhovi povezani su sa jednom tačkom koja se nalazi izvan ravni poligona. Na primjer, ovdje je fotografija koja prikazuje peterokutnu piramidu.

Ova figura je formirana od strane, vrhova i ivica. Pentagonalno lice naziva se baza. Preostale trokutaste površine čine bočnu površinu. Točka preseka svih trouglova je glavni vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu, tada su moguće dvije opcije za položaj točke presjeka:

• u geometrijskom centru, tada se piramida zove prava linija;
• nije ugeometrijski centar, tada će lik biti koso.

Dalje ćemo razmatrati samo ravne figure sa pravilnom n-gonalnom bazom.

Koja je ovo figura - krnja piramida?

Da bi se odredio volumen krnje piramide, potrebno je jasno razumjeti koja je figura konkretno u pitanju. Hajde da razjasnimo ovo pitanje.

Pretpostavimo da uzmemo reznu ravan koja je paralelna sa osnovom obične piramide i njome odsiječemo dio bočne površine. Ako se ova operacija uradi sa pentagonalnom piramidom prikazanom iznad, dobićete figuru kao na slici ispod.

Sa fotografije se vidi da ova piramida već ima dvije osnove, a gornja je slična donjoj, ali je manje veličine. Bočna površina više nije predstavljena trokutima, već trapezima. One su jednakokračne, a njihov broj odgovara broju stranica baze. Skraćena figura nema glavni vrh, kao pravilna piramida, a njena visina je određena rastojanjem između paralelnih baza.

U opštem slučaju, ako je figura koja se razmatra formirana od n-gonalnih baza, ima n+2 lica ili stranica, 2n vrhova i 3n ivica. To jest, skraćena piramida je poliedar.

Formula za zapreminu krnje piramide

Podsjetimo da je volumen obične piramide 1/3 proizvoda njene visine i površine osnove. Ova formula nije prikladna za skraćenu piramidu, jer ima dvije baze. I njen volumenuvijek će biti manja od iste vrijednosti za regularnu cifru iz koje je izvedena.

Ne ulazeći u matematičke detalje dobijanja izraza, predstavljamo konačnu formulu za zapreminu skraćene piramide. Piše se kako slijedi:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Ovdje S₁ i S_{2 su površine donje i gornje baze, respektivno, h je visina figure. Pisani izraz vrijedi ne samo za ravnu pravilnu skraćenu piramidu, već i za bilo koju figuru ove klase. Štaviše, bez obzira na vrstu baznih poligona. Jedini uslov koji ograničava upotrebu izraza za V je potreba da baze piramide budu paralelne jedna s drugom.}

Proučavanjem svojstava ove formule može se izvući nekoliko važnih zaključaka. Dakle, ako je površina gornje baze nula, dolazimo do formule za V obične piramide. Ako su površine baza jednake jedna drugoj, onda dobijamo formulu za zapreminu prizme.

Kako odrediti bočnu površinu?

Poznavanje karakteristika krnje piramide zahtijeva ne samo sposobnost izračunavanja njene zapremine, već i znati kako odrediti površinu bočne površine.

Krunja piramida se sastoji od dvije vrste lica:

• jednakokraki trapezi;
• poligonalne baze.

Ako postoji pravilan poligon u bazama, onda izračunavanje njegove površine ne predstavlja velikuteškoće. Da biste to učinili, trebate samo znati dužinu stranice a i njihov broj n.

U slučaju bočne površine, izračunavanje njene površine uključuje određivanje ove vrijednosti za svaki od n trapeza. Ako je n-ugao tačan, tada formula za bočnu površinu postaje:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Ovdje h_b je visina trapeza, koji se naziva apotema figure. Količine a₁ i a_{2su dužine stranica pravilnih n-gonalnih baza.}

Za svaku pravilnu n-gonalnu skraćenu piramidu, apotema h_b može se jedinstveno definirati kroz parametre a₁ i a _{2i visina h oblika.}

Zadatak izračunavanja zapremine i površine figure

Dana je pravilna trouglasta skraćena piramida. Poznato je da je njena visina h 10 cm, a dužine stranica osnova 5 cm i 3 cm. Koliki je volumen krnje piramide i površina njene bočne površine?

Prvo, izračunajmo vrijednost V. Da biste to učinili, pronađite površine jednakostraničnih trouglova koji se nalaze na osnovama figure. Imamo:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

Zamijenite podatke u formulu za V, dobićemo željeni volumen:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Da biste odredili bočnu površinu, trebali biste znatidužina apoteme h_{b. Uzimajući u obzir odgovarajući pravougli trougao unutar piramide, možemo napisati jednakost za njega:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

Vrijednost apoteme i stranice trouglastih osnova zamjenjuju se u izraz za S_{bi dobijamo odgovor:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Tako smo odgovorili na sva pitanja problema: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.