Mogućnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je u rješavanju brojnih praktičnih problema u geometriji. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom članku ćemo razmotriti formule za volumen piramide, pune i skraćene.
Piramida kao trodimenzionalna figura
Svi znaju za egipatske piramide, tako da imaju dobru ideju o kojoj figuri će se razgovarati. Međutim, egipatske kamene građevine su samo poseban slučaj ogromne klase piramida.
Razmatrani geometrijski objekat u opštem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan sa nekom tačkom u prostoru koja ne pripada osnovnoj ravni. Ova definicija vodi do figure koja se sastoji od jednog n-ugla i n trokuta.
Svaka piramida se sastoji od n+1 lica, 2n ivica i n+1 vrhova. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, brojevi označenih elemenata odgovaraju Ojlerovoj jednakosti:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Poligon u osnovi daje ime piramide,na primjer, trouglasti, peterokutni i tako dalje. Skup piramida sa različitim osnovama prikazan je na slici ispod.
Tačka u kojoj su spojeni n trouglova figure naziva se vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i ona je siječe u geometrijskom centru, tada će se takva figura zvati prava linija. Ako ovaj uslov nije ispunjen, postoji nagnuta piramida.
Prava figura čiju osnovu čini jednakostranični (jednakokutni) n-ugao naziva se pravilna.
formula zapremine piramide
Za izračunavanje zapremine piramide koristimo integralni račun. Da bismo to učinili, dijelimo figuru sekantnim ravnima paralelnim s bazom na beskonačan broj tankih slojeva. Na slici ispod prikazana je četvorougaona piramida visine h i dužine stranice L, u kojoj je tanak sloj preseka označen četvorouglom.
Površina svakog takvog sloja može se izračunati pomoću formule:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Ovdje A0 je površina baze, z je vrijednost vertikalne koordinate. Može se vidjeti da ako je z=0, onda formula daje vrijednost A0.
Da biste dobili formulu za zapreminu piramide, trebate izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:
V=∫h0(A(z)dz).
Zamjenom zavisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivata dolazimo do izraza:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Dobili smo formulu za zapreminu piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti sa tri.
Zapazite da je rezultujući izraz validan za izračunavanje zapremine piramide proizvoljnog tipa. To jest, može biti nagnut, a njegova osnova može biti proizvoljan n-ugao.
Tačna piramida i njen volumen
Opšta formula za zapreminu dobijena u gornjem paragrafu može se precizirati u slučaju piramide sa ispravnom bazom. Površina takve baze izračunava se pomoću sljedeće formule:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Ovdje je L dužina stranice pravilnog poligona sa n vrhova. Simbol pi je broj pi.
Zamjenom izraza za A0 u opštu formulu, dobijamo volumen pravilne piramide:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Na primjer, za trouglastu piramidu, ova formula vodi do sljedećeg izraza:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Za pravilnu četvorougaonu piramidu, formula zapremine postaje:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Određivanje zapremine pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove osnove i visine figure.
Krunja piramida
Pretpostavimo da smo uzeliproizvoljnu piramidu i odsjekao dio njene bočne površine koji sadrži vrh. Preostala figura naziva se skraćena piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih povezuju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira skraćena piramida s paralelnim sličnim osnovama. To jest, dužine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem dužine druge sa nekim koeficijentom k.
Slika iznad prikazuje skraćenu pravilnu heksagonalnu piramidu. Vidi se da je njegova gornja osnova, kao i donja, formirana od pravilnog šestougla.
Formula za zapreminu skraćene piramide, koja se može izvesti korišćenjem integralnog računa sličnog datom, je:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Gde su A0 i A1 površine donje (velike) i gornje (male) baze, respektivno. Varijabla h je visina skraćene piramide.
Zapremina Keopsove piramide
Zanimljivo je riješiti problem određivanja zapremine koju najveća egipatska piramida sadrži.
Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman ustanovili su tačne dimenzije Keopsove piramide. Njegova prvobitna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna dužina svake od četiri strane konstrukcije bila je 230.363 metara. Osnova piramide je kvadratna sa visokom preciznošću.
Upotrebimo date brojke da odredimo zapreminu ovog kamenog diva. Pošto je piramida pravilna četvorougaona, za nju važi formula:
V4=1/3L2h.
Zamenite brojeve, dobijamo:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Zapremina Keopsove piramide je skoro 2,6 miliona m3. Za poređenje, napominjemo da olimpijski bazen ima zapreminu od 2,5 hiljada m3. Odnosno, da bi se popunila cela Keopsova piramida, biće potrebno više od 1000 ovih bazena!
