Formula za volumen heksagonalne piramide: primjer rješavanja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Izračunavanje volumena prostornih figura jedan je od važnih zadataka stereometrije. U ovom članku ćemo razmotriti pitanje određivanja volumena takvog poliedra kao što je piramida, a također ćemo dati formulu za volumen pravilne šesterokutne piramide.

heksagonalna piramida

Prvo, pogledajmo koja je cifra, o čemu će biti riječi u članku.

Imamo proizvoljan šesterokut čije stranice nisu nužno jednake jedna drugoj. Pretpostavimo i da smo odabrali tačku u prostoru koja nije u ravni heksagona. Povezivanjem svih uglova potonjeg s odabranom točkom, dobivamo piramidu. Dvije različite piramide sa heksagonalnom bazom prikazane su na donjoj slici.

Može se vidjeti da se pored šestougla, figura sastoji od šest trouglova, čija se tačka spajanja naziva vrh. Razlika između prikazanih piramida je u tome što visina h desne od njih ne siječe šesterokutnu osnovu u njenom geometrijskom središtu, a visina lijeve figure padabaš u tom centru. Zahvaljujući ovom kriteriju, lijeva piramida je nazvana ravna, a desna - kosa.

Budući da je osnova lijeve figure na slici formirana od šesterokuta sa jednakim stranicama i uglovima, naziva se ispravnim. Dalje u članku ćemo govoriti samo o ovoj piramidi.

Zapremina heksagonalne piramide

Za izračunavanje zapremine proizvoljne piramide vrijedi sljedeća formula:

V=1/3hS_o

Ovde je h dužina visine figure, S_{o je površina njene osnove. Koristimo ovaj izraz da odredimo zapreminu pravilne heksagonalne piramide.}

Budući da je figura koja se razmatra zasnovana na jednakostraničnom šesterokutu, za izračunavanje njegove površine možete koristiti sljedeći opći izraz za n-ugao:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Ovdje je n cijeli broj jednak broju strana (uglova) poligona, a je dužina njegove stranice, kotangens funkcija se izračunava korištenjem odgovarajućih tabela.

Primjenom izraza za n=6, dobijamo:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Sada ostaje da se ovaj izraz zameni u opštu formulu za volumen V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Dakle, da bi se izračunao volumen piramide koja se razmatra, potrebno je znati njena dva linearna parametra: dužinu stranice baze i visinu figure.

Primjer rješavanja problema

Pokažimo kako se dobijeni izraz za V_{6 može koristiti za rješavanje sljedećeg problema.}

Poznato je da je zapremina pravilne heksagonalne piramide 100 cm3. Potrebno je odrediti stranu osnove i visinu figure, ako se zna da su one međusobno povezane sljedećom jednakošću:

a=2h

Budući da su samo a i h uključeni u formulu za zapreminu, bilo koji od ovih parametara se može zamijeniti u nju, izraženo u terminima drugog. Na primjer, zamijenite a, dobijamo:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Da biste pronašli vrijednost visine figure, potrebno je uzeti korijen trećeg stepena iz volumena, koji odgovara dimenziji dužine. Zamjenjujemo vrijednost volumena V_{6 piramide iz iskaza problema, dobijamo visinu:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Budući da je strana baze, u skladu sa uslovom zadatka, dvostruko veća od pronađene vrijednosti, dobijamo vrijednost za nju:

a=2h=23, 0676=6, 1352cm

Zapremina heksagonalne piramide može se pronaći ne samo kroz visinu figure i vrijednost stranice njene osnove. Dovoljno je znati dva različita linearna parametra piramide da biste je izračunali, na primjer, apotemu i dužinu bočne ivice.