Kada morate riješiti probleme iz fizike o kretanju objekata, često se pokaže korisnim primijeniti zakon održanja količine kretanja. Koliki je impuls za linearno i kružno kretanje tijela i koja je suština zakona održanja ove vrijednosti, raspravlja se u članku.
Koncept linearnog momenta
Istorijski podaci pokazuju da je prvi put ovu vrijednost u svojim naučnim radovima razmatrao Galileo Galilei početkom 17. vijeka. Nakon toga, Isaac Newton je uspio harmonično integrirati koncept momenta (točnije ime za impuls) u klasičnu teoriju kretanja objekata u prostoru.
Označite zamah kao p¯, tada će formula za njegovo izračunavanje biti napisana kao:
p¯=mv¯.
Ovde je m masa, v¯ je brzina (vektorska vrednost) kretanja. Ova jednakost pokazuje da je količina kretanja karakteristika brzine objekta, gdje masa igra ulogu faktora umnožavanja. Broj pokretaje vektorska veličina koja pokazuje u istom smjeru kao i brzina.
Intuitivno, što je veća brzina kretanja i masa tijela, to ga je teže zaustaviti, odnosno ima veću kinetičku energiju.
Količina kretanja i njena promjena
Možete pretpostaviti da je za promjenu p¯ vrijednosti tijela potrebno primijeniti određenu silu. Neka sila F¯ djeluje tokom vremenskog intervala Δt, tada nam Newtonov zakon dozvoljava da zapišemo jednakost:
F¯Δt=ma¯Δt; stoga F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Vrijednost jednaka proizvodu vremenskog intervala Δt i sile F¯ naziva se impuls ove sile. Pošto se ispostavi da je jednak promjeni momenta, potonji se često naziva jednostavno zamahom, sugerirajući da ga je stvorila neka vanjska sila F¯.
Dakle, razlog za promjenu momenta je impuls vanjske sile. Vrijednost Δp¯ može dovesti do povećanja vrijednosti p¯ ako je ugao između F¯ i p¯ oštar, i do smanjenja modula p¯ ako je ovaj ugao tup. Najjednostavniji slučajevi su ubrzanje tijela (ugao između F¯ i p¯ je nula) i njegovo usporavanje (ugao između vektora F¯ i p¯ je 180o).
Kada je zamah sačuvan: zakon
Ako tjelesni sistem nijedjeluju vanjske sile, a svi procesi u njemu su ograničeni samo mehaničkom interakcijom njegovih komponenti, tada svaka komponenta impulsa ostaje nepromijenjena proizvoljno dugo vremena. Ovo je zakon održanja impulsa tijela, koji je matematički zapisan na sljedeći način:
p¯=∑ipi¯=const ili
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
Indeks i je cijeli broj koji nabraja objekt sistema, a indeksi x, y, z opisuju komponente zamaha za svaku od koordinatnih osa u kartezijanskom pravokutnom sistemu.
U praksi je često potrebno rješavati jednodimenzionalne probleme sudara tijela, kada su poznati početni uslovi, te je potrebno odrediti stanje sistema nakon udara. U ovom slučaju, impuls je uvijek očuvan, što se ne može reći za kinetičku energiju. Potonji prije i poslije udara bit će nepromijenjen samo u jednom slučaju: kada postoji apsolutno elastična interakcija. Za ovaj slučaj sudara dvaju tijela koja se kreću brzinama v1 i v2,formula za očuvanje momenta imat će oblik:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Ovdje, brzine u1 i u2 karakteriziraju kretanje tijela nakon udara. Imajte na umu da je u ovom obliku zakona održanja potrebno uzeti u obzir predznak brzina: ako su usmjerene jedna prema drugoj, onda treba uzeti jednupozitivan a drugi negativan.
Za savršeno neelastičan sudar (dva tijela se drže zajedno nakon udara), zakon održanja momenta ima oblik:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Rješenje problema o zakonu održanja p¯
Rešimo sledeći problem: dve lopte se kotrljaju jedna prema drugoj. Mase kuglica su iste, a njihove brzine su 5 m/s i 3 m/s. Pod pretpostavkom da postoji apsolutno elastičan sudar, potrebno je pronaći brzine loptica nakon njega.
Koristeći zakon održanja momenta za jednodimenzionalni slučaj, i uzimajući u obzir da se kinetička energija čuva nakon udara, pišemo:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Ovdje smo odmah smanjili mase loptica zbog njihove jednakosti, a uzeli smo u obzir i činjenicu da se tijela kreću jedno prema drugom.
Lakše je nastaviti rješavanje sistema ako zamijenite poznate podatke. Dobijamo:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Zamjenom u1 u drugu jednačinu dobijamo:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; dakle,u22- 2u2 - 15=0.
Dobili smo klasičnu kvadratnu jednačinu. Riješimo ga kroz diskriminant, dobijemo:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Imamo dva rješenja. Ako ih zamenimo u prvi izraz i definišemo u1, dobijamo sledeću vrednost: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Drugi par brojeva je dat u uslovu zadatka, tako da ne odgovara realnoj raspodjeli brzina nakon udara.
Dakle, ostaje samo jedno rješenje: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Ovaj neobičan rezultat znači da u centralnom elastičnom sudaru dvije kugle jednake mase jednostavno razmjenjuju svoje brzine.
Moment zamaha
Sve što je gore rečeno odnosi se na linearni tip kretanja. Međutim, ispada da se slične veličine mogu uvesti i u slučaju kružnog pomeranja tela oko određene ose. Ugaoni moment, koji se još naziva i ugaoni moment, izračunava se kao proizvod vektora koji povezuje materijalnu tačku sa osom rotacije i momenta kretanja ove tačke. To jest, formula se odvija:
L¯=r¯p¯, gdje je p¯=mv¯.
Moment, kao i p¯, je vektor koji je usmjeren okomito na ravan izgrađenu na vektorima r¯ i p¯.
Vrijednost L¯ je važna karakteristika rotacionog sistema, jer određuje energiju koja se u njemu skladišti.
Moment momenta i zakon očuvanja
Ugaoni moment je očuvan ako na sistem ne djeluju vanjske sile (obično kažu da nema momenta sila). Izraz iz prethodnog paragrafa, kroz jednostavne transformacije, može se napisati u formi pogodnijem za praksu:
L¯=Iω¯, gde je I=mr2 je moment inercije materijalne tačke, ω¯ je ugaona brzina.
Moment inercije I, koji se pojavio u izrazu, ima potpuno isto značenje za rotaciju kao i uobičajena masa za linearno kretanje.
Ako postoji bilo kakvo unutrašnje preuređenje sistema, u kojem se I menja, onda ω¯ takođe ne ostaje konstantan. Štaviše, promjena u obje fizičke veličine se događa na takav način da jednakost u nastavku ostaje važeća:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Ovo je zakon održanja ugaonog momenta L¯. Njegovu manifestaciju posmatrala je svaka osoba koja je barem jednom bila na baletu ili umjetničkom klizanju, gdje sportisti izvode piruete rotacijom.
