Rotacija tijela je jedna od važnih vrsta mehaničkog kretanja u tehnologiji i prirodi. Za razliku od linearnog kretanja, ono se opisuje vlastitim skupom kinematičkih karakteristika. Jedan od njih je ugaono ubrzanje. Ovu vrijednost karakteriziramo u članku.
Rotacijski pokret
Prije govora o kutnom ubrzanju, hajde da opišemo vrstu kretanja na koju se odnosi. Govorimo o rotaciji, što je kretanje tijela po kružnim stazama. Da bi došlo do rotacije, moraju biti ispunjeni određeni uslovi:
- prisustvo ose ili tačke rotacije;
- prisustvo centripetalne sile koja bi držala tijelo u kružnoj orbiti.
Primjeri ove vrste kretanja su razne atrakcije, kao što je vrtuljak. U inženjerstvu, rotacija se manifestuje u kretanju točkova i osovina. U prirodi, najupečatljiviji primjer ove vrste kretanja je rotacija planeta oko vlastite ose i oko Sunca. Ulogu centripetalne sile u ovim primjerima imaju sile međuatomske interakcije u čvrstim tijelima i gravitacijske sileinterakcija.
Kinematske karakteristike rotacije
Ove karakteristike uključuju tri veličine: ugaono ubrzanje, ugaonu brzinu i ugao rotacije. Označićemo ih grčkim simbolima α, ω i θ, redom.
Budući da se tijelo kreće u krugu, zgodno je izračunati ugao θ koji će se okrenuti za određeno vrijeme. Ovaj ugao se izražava u radijanima (retko u stepenima). Pošto krug ima 2 × pi radijana, možemo napisati jednačinu koja se odnosi na θ na dužinu luka L zavoja:
L=θ × r
Gdje je r polumjer rotacije. Ovu formulu je lako dobiti ako zapamtite odgovarajući izraz za obim.
Ugaona brzina ω, kao i njen linearni parnjak, opisuje brzinu rotacije oko ose, odnosno određuje se prema sledećem izrazu:
ω¯=d θ / d t
Količina ω¯ je vektorska vrijednost. Usmjeren je duž ose rotacije. Njegova jedinica je radijani po sekundi (rad/s).
Konačno, kutno ubrzanje je fizička karakteristika koja određuje brzinu promjene vrijednosti ω¯, koja je matematički zapisana na sljedeći način:
α¯=d ω¯/ d t
Vektor α¯ je usmjeren ka promjeni vektora brzine ω¯. Dalje će se reći da je kutno ubrzanje usmjereno prema vektoru momenta sile. Ova vrijednost se mjeri u radijanima.kvadratna sekunda (rad/s2).
Moment sile i ubrzanja
Ako se prisjetimo Newtonovog zakona, koji povezuje silu i linearno ubrzanje u jednu jednakost, onda, prenoseći ovaj zakon na slučaj rotacije, možemo napisati sljedeći izraz:
M¯=I × α¯
Ovde je M¯ moment sile, koji je proizvod sile koja teži da okreće sistem puta poluge - rastojanje od tačke primene sile do ose. Vrijednost I je analogna masi tijela i naziva se momentom inercije. Napisana formula naziva se jednadžba momenata. Iz njega se kutno ubrzanje može izračunati na sljedeći način:
α¯=M¯/ I
Pošto je I skalar, α¯ je uvijek usmjeren prema momentu djelovanja sile M¯. Smjer M¯ je određen pravilom desne ruke ili pravilom gimleta. Vektori M¯ i α¯ su okomiti na ravan rotacije. Što je veći moment inercije tijela, to je manja vrijednost ugaonog ubrzanja koju fiksni moment M¯ može dati sistemu.
Kinematske jednadžbe
Da bismo razumjeli važnu ulogu koju kutno ubrzanje igra u opisivanju kretanja rotacije, hajde da zapišemo formule koje povezuju kinematičke veličine koje smo prethodno proučavali.
U slučaju ravnomerno ubrzane rotacije, važe sledeći matematički odnosi:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Prva formula pokazuje da je kutnibrzina će se vremenom povećavati prema linearnom zakonu. Drugi izraz vam omogućava da izračunate ugao za koji će se tijelo okrenuti za poznato vrijeme t. Graf funkcije θ(t) je parabola. U oba slučaja, kutno ubrzanje je konstantno.
Ako koristimo formulu relacije između L i θ datu na početku članka, možemo dobiti izraz za α u terminima linearnog ubrzanja a:
α=a / r
Ako je α konstantno, onda kako se rastojanje od ose rotacije r povećava, linearno ubrzanje a će se proporcionalno povećati. Zato se za rotaciju koriste ugaone karakteristike, za razliku od linearnih, one se ne menjaju sa povećanjem ili smanjenjem r.
Primjer problema
Metalna osovina, koja se okreće frekvencijom od 2.000 okretaja u sekundi, počela je usporavati i potpuno se zaustavila nakon 1 minute. Potrebno je izračunati s kojim ugaonim ubrzanjem se odvijao proces usporavanja osovine. Također biste trebali izračunati broj okretaja koje je vratilo napravilo prije zaustavljanja.
Proces usporavanja rotacije opisan je sljedećim izrazom:
ω=ω0- α × t
Početna ugaona brzina ω0određuje se iz frekvencije rotacije f na sljedeći način:
ω0=2 × pi × f
Pošto znamo vrijeme usporavanja, tada dobijamo vrijednost ubrzanja α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Ovaj broj treba uzeti sa znakom minus,jer govorimo o usporavanju sistema, a ne o ubrzavanju.
Da odredite broj obrtaja koje će osovina napraviti tokom kočenja, primijenite izraz:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376,806 rad.
Dobljena vrijednost ugla rotacije θ u radijanima jednostavno se pretvara u broj okretaja koje je napravila osovina prije nego što se potpuno zaustavi korištenjem jednostavnog dijeljenja sa 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 okret.
Tako smo dobili sve odgovore na pitanja problema: α=-209, 33 rad/s2, n=60,001 okretaja.
