Često se u fizici moraju rješavati problemi za izračunavanje ravnoteže u složenim sistemima koji imaju mnogo djelujućih sila, poluga i osa rotacije. U ovom slučaju najlakše je koristiti koncept momenta sile. Ovaj članak pruža sve potrebne formule sa detaljnim objašnjenjima koje treba koristiti za rješavanje problema imenovanog tipa.
O čemu ćemo razgovarati?
Mnogi ljudi su vjerovatno primijetili da ako djelujete bilo kakvom silom na predmet fiksiran u određenoj tački, on počinje da se rotira. Upečatljiv primjer su vrata kuće ili sobe. Ako ga uzmete za ručku i gurnete (primijenite silu), tada će se početi otvarati (okrenuti šarke). Ovaj proces je u svakodnevnom životu manifestacija djelovanja fizičke veličine, koja se naziva momentom sile.
Iz opisanog primjera sa vratima proizilazi da dotična vrijednost ukazuje na sposobnost sile da se rotira, što je njeno fizičko značenje. Takođe ova vrijednostse zove moment torzije.
Određivanje momenta sile
Prije definiranja količine koja se razmatra, napravimo jednostavnu sliku.
Dakle, na slici je prikazana poluga (plava), koja je fiksirana na osi (zelena). Ova poluga ima dužinu d, a na njen kraj djeluje sila F. Šta će se u tom slučaju dogoditi sa sistemom? Tako je, poluga će početi da se okreće u suprotnom smeru kazaljke na satu kada se gleda odozgo (imajte na umu da ako malo rastegnete svoju maštu i zamislite da je pogled usmeren odozdo na polugu, onda će se rotirati u smeru kazaljke na satu).
Neka se tačka vezivanja ose zove O, a tačka primene sile - P. Tada možemo napisati sledeći matematički izraz:
OP¯ F¯=M¯FO.
Gdje je OP¯ vektor koji je usmjeren od ose do kraja poluge, naziva se i poluga sile, F¯je vektor primijenjene sile na tačku P, a M¯FO je moment sile oko tačke O (ose). Ova formula je matematička definicija fizičke veličine o kojoj je riječ.
Smjer trenutka i pravilo desne ruke
Izraz iznad je unakrsni proizvod. Kao što znate, njegov rezultat je također vektor koji je okomit na ravan koja prolazi kroz odgovarajuće vektore množitelja. Ovaj uslov je zadovoljen sa dva pravca vrednosti M¯FO (dole i gore).
Jedinstvenoza određivanje treba koristiti takozvano pravilo desne ruke. Može se formulirati na ovaj način: ako savijete četiri prsta desne ruke u polu-luk i usmjerite ovaj polu-luk tako da ide duž prvog vektora (prvog faktora u formuli) i ide do kraja drugi, zatim palac koji strši prema gore će ukazati na smjer momenta torzije. Imajte na umu da prije korištenja ovog pravila morate postaviti pomnožene vektore tako da izlaze iz iste tačke (njihovo porijeklo se mora podudarati).
U slučaju slike u prethodnom pasusu, možemo reći, primjenom pravila desne ruke, da će moment sile u odnosu na osu biti usmjeren prema gore, odnosno prema nama.
Pored označene metode određivanja smjera vektora M¯FO, postoje još dvije. Evo ih:
- Trenutak torzije će biti usmjeren na takav način da će se, ako pogledate rotirajuću polugu sa kraja njenog vektora, pomjeriti u odnosu na sat. Općenito je prihvaćeno da se ovaj pravac trenutka smatra pozitivnim pri rješavanju raznih vrsta problema.
- Ako zavrtite vretenu u smjeru kazaljke na satu, obrtni moment će biti usmjeren prema kretanju (produbljenju) vretena.
Sve gore navedene definicije su ekvivalentne, tako da svako može izabrati onu koja mu odgovara.
Dakle, ustanovljeno je da je smjer momenta sile paralelan s osom oko koje se rotira odgovarajuća poluga.
Ugaona sila
Razmotrite sliku ispod.
Ovde takođe vidimo polugu dužine L fiksiranu u tački (označeno strelicom). Na njega djeluje sila F, međutim, ona je usmjerena pod određenim uglom Φ (phi) u odnosu na horizontalnu polugu. Smjer trenutka M¯FO u ovom slučaju će biti isti kao na prethodnoj slici (na nama). Da biste izračunali apsolutnu vrijednost ili modul ove količine, morate koristiti svojstvo unakrsnog proizvoda. Prema njemu, za primjer koji se razmatra, možete napisati izraz: MFO=LFsin(180 o -Φ) ili, koristeći svojstvo sinusa, prepisujemo:
MFO=LFsin(Φ).
Na slici je prikazan i zaokružen pravougli trougao, čije su stranice sama poluga (hipotenuza), linija djelovanja sile (kat) i stranica dužine d (drugi krak). S obzirom da je sin(Φ)=d/L, ova formula će imati oblik: MFO=dF. Vidi se da je rastojanje d rastojanje od tačke pričvršćivanja poluge do linije dejstva sile, odnosno d je poluga sile.
Obje formule razmatrane u ovom paragrafu, koje slijede direktno iz definicije momenta torzije, korisne su u rješavanju praktičnih problema.
Jedinice zakretnog momenta
Koristeći definiciju, može se utvrditi da vrijednost MFO treba mjeriti u njutonima po metru (Nm). Zaista, u obliku ovih jedinica, koristi se u SI.
Imajte na umu da je Nm jedinica rada, koja se izražava u džulima, poput energije. Ipak, džulovi se ne koriste za koncept momenta sile, jer ova vrijednost upravo odražava mogućnost implementacije potonjeg. Međutim, postoji veza sa jedinicom rada: ako se, kao rezultat sile F, poluga potpuno zarotira oko svoje tačke okretanja O, tada će obavljeni rad biti jednak A=MF O 2pi (2pi je ugao u radijanima koji odgovara 360o). U ovom slučaju, jedinica obrtnog momenta MFO može se izraziti u džulima po radijanu (J/rad.). Potonji, zajedno sa Hm, se takođe koristi u SI sistemu.
Varinjonova teorema
Krajem 17. veka, francuski matematičar Pierre Varignon, proučavajući ravnotežu sistema sa polugama, prvi je formulisao teoremu, koja sada nosi njegovo prezime. Formulira se na sljedeći način: ukupni moment nekoliko sila jednak je momentu jedne rezultirajuće sile, koja se primjenjuje na određenu tačku u odnosu na istu os rotacije. Matematički se može napisati na sljedeći način:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Ova teorema je pogodna za korištenje za izračunavanje torzionih momenata u sistemima sa višestrukim djelovanjem sila.
Dalje, dajemo primjer korištenja gornjih formula za rješavanje problema iz fizike.
Problem s ključem
Jedan odUpečatljiv primjer demonstracije važnosti uzimanja u obzir momenta sile je proces odvrtanja matica pomoću ključa. Da biste odvrnuli maticu, morate primijeniti određeni okretni moment. Potrebno je izračunati koliku silu treba primijeniti u tački A da bi se započelo odvrtanje matice, ako je ta sila u tački B 300 N (vidi sliku ispod).
Iz gornje slike, slijede dvije važne stvari: prvo, udaljenost OB je dvostruko veća od OA; drugo, sile FA i FBsu usmjerene okomito na odgovarajuću polugu sa osom rotacije koja se poklapa sa centrom matice (tačka O).
Moment momenta za ovaj slučaj može se napisati u skalarnom obliku na sljedeći način: M=OBFB=OAFA. Pošto je OB/OA=2, ova jednakost će vrijediti samo ako je FA 2 puta veći od FB. Iz uslova zadatka dobijamo da je FA=2300=600 N. To jest, što je ključ duži, lakše je odvrnuti maticu.
Problem sa dvije lopte različite mase
Slika ispod prikazuje sistem koji je u ravnoteži. Potrebno je pronaći poziciju uporišta ako je dužina daske 3 metra.
Pošto je sistem u ravnoteži, zbir momenata svih sila jednak je nuli. Na dasku djeluju tri sile (težine dvije lopte i sila reakcije oslonca). Pošto sila potpore ne stvara moment momenta (dužina poluge je nula), postoje samo dva momenta stvorena težinom loptica.
Neka je ravnotežna tačka na udaljenosti x odrub sa loptom od 100 kg. Tada možemo napisati jednakost: M1-M2=0. Pošto je težina tijela određena formulom mg, onda imamo: m 1gx - m2g(3-x)=0. Smanjimo g i zamijenimo podatke, dobijemo: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m ili 14,3 cm.
Dakle, da bi sistem bio u ravnoteži, potrebno je uspostaviti referentnu tačku na udaljenosti od 14,3 cm od ivice u kojoj će ležati lopta mase 100 kg.
