U fizici, razmatranje problema sa rotirajućim tijelima ili sistemima koji su u ravnoteži provodi se korištenjem koncepta "momenta sile". Ovaj članak će razmotriti formulu za moment sile, kao i njenu upotrebu za rješavanje ove vrste problema.
Moment sile u fizici
Kao što je navedeno u uvodu, ovaj članak će se fokusirati na sisteme koji se mogu rotirati oko ose ili oko tačke. Razmotrite primjer takvog modela, prikazanog na donjoj slici.
Vidimo da je siva poluga fiksirana na osi rotacije. Na kraju poluge nalazi se crna kocka neke mase na koju djeluje sila (crvena strelica). Intuitivno je jasno da će rezultat ove sile biti rotacija poluge oko ose suprotno od kazaljke na satu.
Moment sile je veličina u fizici, koja je jednaka vektorskom proizvodu polumjera koji povezuje osu rotacije i tačku primjene sile (zeleni vektor na slici) i vanjske sile sama. To jest, napisana je formula za moment sile oko osekako slijedi:
M¯=r¯F¯
Rezultat ovog proizvoda je vektor M¯. Njegov pravac se određuje na osnovu poznavanja vektora množitelja, odnosno r¯ i F¯. Prema definiciji unakrsnog proizvoda, M¯ mora biti okomito na ravan koju formiraju vektori r¯ i F¯, i usmjereno u skladu s pravilom desne ruke (ako su četiri prsta desne ruke postavljena duž prvog pomnoženog vektor prema kraju sekunde, zatim palac pokazuje gdje je usmjeren željeni vektor). Na slici možete vidjeti gdje je usmjeren vektor M¯ (plava strelica).
Skalarna notacija M¯
Na slici u prethodnom pasusu, sila (crvena strelica) djeluje na polugu pod uglom od 90o. U općenitom slučaju, može se primijeniti pod apsolutno bilo kojim uglom. Razmotrite sliku ispod.
Ovde vidimo da sila F već deluje na polugu L pod određenim uglom Φ. Za ovaj sistem, formula za moment sile u odnosu na tačku (prikazanu strelicom) u skalarnom obliku će imati oblik:
M=LFsin(Φ)
Iz izraza slijedi da će moment sile M biti to veći, što je smjer djelovanja sile F bliži kutu 90o u odnosu na L Obrnuto, ako F djeluje duž L, tada je sin(0)=0 i sila ne stvara nikakav moment (M=0).
Kada se razmatra moment sile u skalarnom obliku, često se koristi koncept "poluge sile". Ova vrijednost je udaljenost između ose (tačkerotacija) i vektor F. Primjenjujući ovu definiciju na gornju sliku, možemo reći da je d=Lsin(Φ) poluga sile (jednakost slijedi iz definicije trigonometrijske funkcije "sinus"). Pomoću poluge sile, formula za trenutak M može se prepisati na sljedeći način:
M=dF
Fizičko značenje M
Razmatrana fizička veličina određuje sposobnost vanjske sile F da izvrši rotacijski učinak na sistem. Da biste tijelo doveli u rotacijsko kretanje, potrebno ga je obavijestiti o nekom trenutku M.
Odličan primjer ovog procesa je otvaranje ili zatvaranje vrata sobe. Držeći kvaku, osoba se trudi i okreće vrata na šarkama. Svako to može. Ako pokušate otvoriti vrata djelujući na njih u blizini šarki, morat ćete uložiti velike napore da ih pomjerite.
Još jedan primjer je otpuštanje matice ključem. Što je ova tipka kraća, to je teže izvršiti zadatak.
Naznačene karakteristike su prikazane formulom momenta sile preko ramena, koja je data u prethodnom pasusu. Ako se M smatra konstantnom vrijednošću, onda što je manji d, veći F se mora primijeniti da bi se stvorio dati moment sile.
Nekoliko djelujućih sila u sistemu
Gore su razmatrani slučajevi kada samo jedna sila F djeluje na sistem sposoban za rotaciju, ali šta ako postoji nekoliko takvih sila? Zaista, ova situacija je češća, jer sile mogu djelovati na sistemrazličite prirode (gravitacione, električne, frikcione, mehaničke i druge). U svim ovim slučajevima, rezultujući moment sile M¯ se može dobiti korišćenjem vektorske sume svih momenata Mi¯, tj.:
M¯=∑i(Mi¯), gdje je i broj snage Fi
Iz svojstva aditivnosti momenata slijedi važan zaključak, koji se zove Varignon-ova teorema, nazvana po matematičaru s kraja 17. - ranog 18. stoljeća - Francuzu Pierreu Varignonu. Ona glasi: "Zbir momenata svih sila koje djeluju na sistem koji se razmatra može se predstaviti kao moment jedne sile, koji je jednak zbiru svih ostalih i primjenjuje se na određenu tačku." Matematički, teorema se može napisati na sljedeći način:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Ova važna teorema se često koristi u praksi za rješavanje problema o rotaciji i ravnoteži tijela.
Da li radi trenutak sile?
Analizirajući gornje formule u skalarnom ili vektorskom obliku, možemo zaključiti da je vrijednost M neki rad. Zaista, njegova dimenzija je Nm, što u SI odgovara džulu (J). U stvari, moment sile nije rad, već samo količina koja je sposobna za to. Da bi se to dogodilo potrebno je kružno kretanje u sistemu i dugotrajno djelovanje M. Dakle, formula za rad momenta sile je zapisana na sljedeći način:
A=Mθ
BU ovom izrazu, θ je ugao kroz koji je napravljena rotacija momentom sile M. Kao rezultat, jedinica rada se može napisati kao Nmrad ili Jrad. Na primjer, vrijednost od 60 Jrad ukazuje na to da kada se rotira za 1 radijan (približno 1/3 kruga), sila F koja stvara u trenutku kada je M izvršio rad od 60 džula. Ova formula se često koristi pri rješavanju problema u sistemima u kojima djeluju sile trenja, kao što će biti prikazano u nastavku.
Moment sile i moment momenta
Kao što je prikazano, uticaj momenta M na sistem dovodi do pojave rotacionog kretanja u njemu. Potonji karakterizira veličina koja se naziva "momentum". Može se izračunati pomoću formule:
L=Iω
Ovdje je I moment inercije (vrijednost koja igra istu ulogu u rotaciji kao i masa u linearnom kretanju tijela), ω je ugaona brzina, povezana je s linearnom brzinom formulom ω=v/r.
Oba momenta (moment i sila) povezani su jedan s drugim sljedećim izrazom:
M=Iα, gdje je α=dω / dt ugaono ubrzanje.
Dajmo još jednu formulu bitnu za rješavanje problema za rad momenata sila. Koristeći ovu formulu, možete izračunati kinetičku energiju rotirajućeg tijela. Ona izgleda ovako:
Ek=1/2Iω2
Dalje predstavljamo dva problema sa rješenjima, gdje pokazujemo kako koristiti razmatrane fizičke formule.
Ravnoteža nekoliko tijela
Prvi zadatak se odnosi na ravnotežu sistema u kojem djeluje više sila. NaSlika ispod prikazuje sistem na koji djeluju tri sile. Potrebno je izračunati koliku masu predmet mora biti okačen za ovu polugu i u kojoj tački to treba učiniti da ovaj sistem bude u ravnoteži.
Iz uslova zadatka možemo shvatiti da za njegovo rješavanje treba koristiti Varignonovu teoremu. Na prvi dio problema može se odmah odgovoriti, jer će težina predmeta koji će se objesiti na polugu biti:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Ovdje se znaci biraju uzimajući u obzir da sila koja rotira polugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu stvara negativan moment.
Položaj tačke d, gdje treba objesiti ovu težinu, izračunava se po formuli:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Imajte na umu da smo koristeći formulu za moment gravitacije izračunali ekvivalentnu vrijednost M vrijednosti koju stvaraju tri sile. Da bi sistem bio u ravnoteži potrebno je na tačku 4, 714 m od ose sa druge strane poluge, okačiti telo težine 35 N.
Problem sa premještanjem diska
Rješenje sljedećeg problema zasniva se na korištenju formule za moment sile trenja i kinetičku energiju tijela okretanja. Zadatak: Dat je disk poluprečnika r=0,3 metara, koji se rotira brzinom ω=1 rad/s. Potrebno je izračunati koliko daleko može da putuje po površini ako je koeficijent trenja kotrljanja Μ=0,001.
Ovaj problem je najlakše riješiti ako koristite zakon održanja energije. Imamo početnu kinetičku energiju diska. Kada počne da se kotrlja, sva ta energija se troši na zagrijavanje površine uslijed djelovanja sile trenja. Izjednačavanjem obe veličine dobijamo izraz:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Prvi dio formule je kinetička energija diska. Drugi dio je rad momenta sile trenja F=ΜN/r, primijenjen na ivicu diska (M=Fr).
S obzirom da je N=mg i I=1/2mr2, izračunavamo θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Pošto 2pi radijani odgovaraju dužini 2pir, onda dobijamo da je potrebna udaljenost koju će disk preći:
s=θr=2,293580,3=0,688m ili oko 69cm
Imajte na umu da masa diska ne utiče na ovaj rezultat.
