Rotacija je tipična vrsta mehaničkog pokreta koji se često nalazi u prirodi i tehnologiji. Svaka rotacija nastaje kao rezultat djelovanja neke vanjske sile na sistem koji se razmatra. Ova sila stvara takozvani obrtni moment. Šta je to, od čega zavisi, govori se u članku.
Proces rotacije
Pre razmatranja koncepta obrtnog momenta, hajde da okarakterišemo sisteme na koje se ovaj koncept može primeniti. Sistem rotacije pretpostavlja prisutnost u njemu ose oko koje se vrši kružno kretanje ili rotacija. Udaljenost od ove ose do materijalnih tačaka sistema naziva se radijus rotacije.
Sa stanovišta kinematike, proces karakterišu tri ugaone vrednosti:
- ugao rotacije θ (mjereno u radijanima);
- ugaona brzina ω (mjereno u radijanima po sekundi);
- ugaono ubrzanje α (mjereno u radijanima po kvadratnoj sekundi).
Ove količine su međusobno povezane na sljedeći načinjednako:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Primjeri rotacije u prirodi su kretanja planeta u njihovim orbitama i oko njihovih osa, kretanja tornada. U svakodnevnom životu i tehnologiji, dotični pokret je tipičan za motore motora, ključeve, građevinske dizalice, otvaranje vrata i tako dalje.
Određivanje momenta sile
Pređimo sada na stvarnu temu članka. Prema fizičkoj definiciji, moment sile je vektorski proizvod vektora primjene sile u odnosu na os rotacije i vektor same sile. Odgovarajući matematički izraz može se napisati ovako:
M¯=[r¯F¯].
Ovdje je vektor r¯ usmjeren od ose rotacije do tačke primjene sile F¯.
U ovoj formuli momenta M¯, sila F¯ može biti usmjerena u bilo kojem smjeru u odnosu na smjer ose. Međutim, komponenta sile paralelna osi neće stvoriti rotaciju ako je os čvrsto fiksirana. U većini problema u fizici, treba uzeti u obzir sile F¯, koje leže u ravninama okomitim na os rotacije. U ovim slučajevima, apsolutna vrijednost momenta se može odrediti sljedećom formulom:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Gdje je β ugao između vektora r¯ i F¯.
Šta je leveridž?
Poluga sile igra važnu ulogu u određivanju veličine momenta sile. Da biste razumeli o čemu govorimo, razmislitesljedeća slika.
Ovde prikazujemo neki štap dužine L, koji je fiksiran u tački stožera jednim od svojih krajeva. Na drugi kraj djeluje sila F usmjerena pod oštrim uglom φ. Prema definiciji momenta sile, može se napisati:
M=FLsin(180o-φ).
Ugao (180o-φ) se pojavio jer je vektor L¯ usmjeren od fiksnog kraja ka slobodnom kraju. S obzirom na periodičnost trigonometrijske sinusne funkcije, ovu jednakost možemo prepisati u sljedećem obliku:
M=FLsin(φ).
Obratimo sada pažnju na pravougli trokut izgrađen na stranicama L, d i F. Po definiciji sinusne funkcije, proizvod hipotenuze L i sinusa ugla φ daje vrijednost kraka d. Onda dolazimo do jednakosti:
M=Fd.
Linearna vrijednost d naziva se poluga sile. Jednaka je udaljenosti od vektora sile F¯ do ose rotacije. Kao što se može vidjeti iz formule, zgodno je koristiti koncept poluge sile prilikom izračunavanja momenta M. Rezultirajuća formula kaže da će se maksimalni moment za neku silu F pojaviti samo kada je dužina vektora radijusa r¯ (L¯ na gornjoj slici) jednako je poluzi sile, odnosno, r¯ i F¯ će biti međusobno okomiti.
Smjer M¯
Iznad je pokazano da je obrtni moment vektorska karakteristika za dati sistem. Gdje je usmjeren ovaj vektor? Odgovorite na ovo pitanje brje posebno teško ako se sjetimo da je rezultat proizvoda dva vektora treći vektor, koji leži na osi okomitoj na ravan originalnih vektora.
Ostaje da se odluči da li će moment sile biti usmeren nagore ili naniže (prema ili od čitača) u odnosu na navedenu ravan. To možete odrediti ili pomoću pravila gimleta ili pomoću pravila desne ruke. Evo oba pravila:
- Pravilo desne ruke. Ako desnu ruku postavite na način da se njena četiri prsta kreću od početka vektora r¯ do njegovog kraja, a zatim od početka vektora F¯ do njegovog kraja, tada će palac, koji strši, pokazivati smjer trenutka M¯.
- Gimlet pravilo. Ako se smjer rotacije imaginarnog gimleta poklapa sa smjerom rotacionog kretanja sistema, tada će translacijsko pomicanje gimleta ukazati na smjer vektora M¯. Podsjetimo da se rotira samo u smjeru kazaljke na satu.
Oba pravila su jednaka, tako da svako može koristiti ono koje mu odgovara.
Prilikom rješavanja praktičnih zadataka uzima se u obzir različit smjer obrtnog momenta (gore - dolje, lijevo - desno) pomoću znakova "+" ili "-". Treba imati na umu da se pozitivnim smjerom momenta M¯ smatra onaj koji dovodi do rotacije sistema u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Prema tome, ako neka sila dovede do rotacije sistema u smjeru sata, tada će trenutak koji ona kreira imati negativnu vrijednost.
Fizičko značenjekoličine M¯
U fizici i mehanici rotacije, vrijednost M¯ određuje sposobnost sile ili zbroja sila da se rotiraju. Budući da matematička definicija veličine M¯ sadrži ne samo silu, već i radijus vektor njene primjene, potonji je taj koji u velikoj mjeri određuje zapaženu sposobnost rotacije. Da bi bilo jasnije o kojoj sposobnosti je riječ, evo nekoliko primjera:
- Svaka je osoba, barem jednom u životu, pokušala da otvori vrata, ne držeći kvaku, već ih gurajući blizu šarki. U potonjem slučaju, morate uložiti značajan napor da postignete željeni rezultat.
- Da odvrnete maticu sa vijka, koristite posebne ključeve. Što je ključ duži, lakše je otpustiti maticu.
- Da bi osjetili važnost poluge moći, pozivamo čitatelje da urade sljedeći eksperiment: uzmite stolicu i pokušajte je držati jednom rukom na težini, u jednom slučaju nasloniti ruku na tijelo, u drugi, izvršite zadatak na pravoj ruci. Ovo posljednje će se pokazati kao ogroman zadatak za mnoge, iako je težina stolice ostala ista.
Jedinice momenta sile
Trebalo bi reći i nekoliko riječi o SI jedinicama u kojima se mjeri obrtni moment. Prema formuli napisanoj za njega, mjeri se u njutnima po metru (Nm). Međutim, ove jedinice mjere i rad i energiju u fizici (1 Nm=1 džul). Džoul za trenutak M¯ se ne primjenjuje jer je rad skalarna veličina, dok je M¯ vektor.
Ipakpodudarnost jedinica momenta sile sa jedinicama energije nije slučajna. Rad na rotaciji sistema, obavljen do trenutka M, izračunava se po formuli:
A=Mθ.
Odakle dobijemo da se M takođe može izraziti u džulima po radijanu (J/rad).
Dinamika rotacije
Na početku članka zapisali smo kinematičke karakteristike koje se koriste za opisivanje kretanja rotacije. U dinamici rotacije, glavna jednadžba koja koristi ove karakteristike je:
M=Iα.
Dejstvo momenta M na sistem sa momentom inercije I dovodi do pojave ugaonog ubrzanja α.
Ova formula se koristi za određivanje ugaonih frekvencija rotacije u tehnologiji. Na primjer, poznavanjem momenta asinhronog motora, koji ovisi o frekvenciji struje u zavojnici statora i veličini promjenjivog magnetskog polja, kao i poznavanjem inercijalnih svojstava rotirajućeg rotora, moguće je odrediti do koje brzine rotacije ω se rotor motora okreće u poznatom vremenu t.
Primjer rješavanja problema
Poluga bez težine, duga 2 metra, ima oslonac u sredini. Koju težinu treba staviti na jedan kraj poluge da bi ona bila u stanju ravnoteže, ako na drugoj strani oslonca na udaljenosti od 0,5 metara od nje leži masa od 10 kg?
Očigledno, ravnoteža poluge će doći ako su momenti sila koje stvaraju opterećenja jednaki u apsolutnoj vrijednosti. Moć koja stvaratrenutak u ovom problemu, predstavlja težinu tijela. Poluge sile su jednake udaljenostima od utega do oslonca. Napišimo odgovarajuću jednakost:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/d2.
Težina P2 dobijamo ako zamenimo vrednosti m1=10 kg iz uslova problema, d 1=0,5 m, d2=1 m. Napisana jednačina daje odgovor: P2=49,05 njutna.
