Pravilna heksagonalna piramida. Formule za zapreminu i površinu. Rješenje geometrijskog problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Stereometrija, kao grana geometrije u prostoru, proučava svojstva prizmi, cilindara, čunjeva, kuglica, piramida i drugih trodimenzionalnih figura. Ovaj članak je posvećen detaljnom pregledu karakteristika i svojstava heksagonalne pravilne piramide.

Koja piramida će se proučavati

Pravilna šestougaona piramida je lik u prostoru, koji je ograničen jednim jednakostraničnim i jednakokutnim šestouglom, i šest identičnih jednakokračnih trouglova. Ovi trouglovi takođe mogu biti jednakostranični pod određenim uslovima. Ova piramida je prikazana ispod.

Ovdje je prikazana ista figura, samo što je u jednom slučaju okrenuta bočnom stranom prema čitaču, au drugom - bočnom ivicom.

Pravilna heksagonalna piramida ima 7 lica, koja su pomenuta gore. Takođe ima 7 vrhova i 12 ivica. Za razliku od prizme, sve piramide imaju jedan poseban vrh, koji nastaje presjekom bočnihtrouglovi. Za pravilnu piramidu igra važnu ulogu, jer je okomica spuštena s nje na podnožje figure visina. Nadalje, visina će biti označena slovom h.

Prikazana piramida se naziva ispravnom iz dva razloga:

• u njegovoj osnovi je šestougao sa jednakim dužinama stranica a i jednakim uglovima od 120o;
• Visina piramide h seče šestougao tačno u njegovom centru (tačka preseka leži na istoj udaljenosti sa svih strana i od svih vrhova heksagona).

Površina

Svojstva pravilne heksagonalne piramide će se razmatrati iz definicije njene površine. Da biste to učinili, prvo je korisno rasklopiti figuru na ravnini. Šematski prikaz toga je prikazan ispod.

Može se vidjeti da je površina zamaha, a time i cijela površina figure koja se razmatra, jednaka zbroju površina šest identičnih trouglova i jednog šestougla.

Da odredite površinu šesterokuta S_{6, koristite univerzalnu formulu za regularni n-ugao:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Gdje je a dužina stranice šesterokuta.

Površina trougla S₃ bočne strane se može naći ako znate vrijednost njegove visine h_b:

S₃=1/2h_ba.

Zato što svih šesttrokuti su jednaki jedan drugom, tada dobijamo radni izraz za određivanje površine šestougaone piramide sa pravilnom osnovom:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Zapremina piramide

Baš kao i površina, zapremina heksagonalne pravilne piramide je njeno važno svojstvo. Ovaj volumen se izračunava općom formulom za sve piramide i čunjeve. Hajde da to zapišemo:

V=1/3S_oh.

Ovdje, simbol S_o je površina heksagonalne baze, tj. S_o=S _6.

Zamjenom gornjeg izraza za S_{6 u formulu za V, dolazimo do konačne jednakosti za određivanje zapremine pravilne heksagonalne piramide:}

V=√3/2a2h.

Primjer geometrijskog problema

U pravilnoj heksagonalnoj piramidi, bočni rub je dvostruko duži od osnovne stranice. Znajući da je potonji 7 cm, potrebno je izračunati površinu i zapreminu ove figure.

Kao što možete pretpostaviti, rješenje ovog problema uključuje korištenje gore dobijenih izraza za S i V. Ipak, neće ih biti moguće koristiti odmah, jer ne znamo apotemu i visina pravilne heksagonalne piramide. Izračunajmo ih.

Apotema h_b može se odrediti razmatranjem pravouglog trougla izgrađenog na stranicama b, a/2 i h_{b. Ovdje je b dužina bočne ivice. Koristeći uslov zadatka, dobijamo:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Visina h piramide može se odrediti na potpuno isti način kao i apotema, ali sada treba razmotriti trougao sa stranicama h, b i a, koji se nalazi unutar piramide. Visina će biti:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Može se vidjeti da je izračunata vrijednost visine manja od one za apotemu, što vrijedi za bilo koju piramidu.

Sada možete koristiti izraze za volumen i površinu:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Dakle, da biste nedvosmisleno odredili bilo koju karakteristiku pravilne heksagonalne piramide, morate znati bilo koja dva njena linearna parametra.