Školski kurs geometrije podijeljen je u dva velika dijela: planimetriju i geometriju čvrstog tijela. Stereometrija proučava prostorne figure i njihove karakteristike. U ovom članku ćemo pogledati šta je ravna prizma i dati formule koje opisuju njena svojstva kao što su dijagonalne dužine, zapremina i površina.
Šta je prizma?
Kada se od učenika traži da navedu definiciju prizme, oni odgovaraju da je ova figura dva identična paralelna poligona čije su stranice povezane paralelogramima. Ova definicija je što je moguće uopštenija, jer ne postavlja uslove na oblik poligona, na njihov međusobni raspored u paralelnim ravnima. Osim toga, to podrazumijeva prisustvo povezujućih paralelograma, čija klasa uključuje i kvadrat, romb i pravougaonik. Ispod možete vidjeti šta je četverokutna prizma.
Vidimo da je prizma poliedar (poliedar) koji se sastoji od n + 2stranica, 2 × n vrhova i 3 × n ivica, gdje je n broj stranica (vrhova) jednog od poligona.
Oba poligona se obično nazivaju bazama figure, a druga lica su stranice prizme.
Koncept ravne prizme
Postoje različite vrste prizmi. Dakle, govore o pravilnim i nepravilnim figurama, o trouglastim, peterokutnim i drugim prizmama, postoje konveksne i konkavne figure, i na kraju, one su nagnute i prave. Razgovarajmo o potonjem detaljnije.
Prava prizma je takva figura proučavane klase poliedara, čiji svi bočni četverouglovi imaju prave uglove. Postoje samo dvije vrste takvih četverouglova - pravougaonik i kvadrat.
Razmatrani oblik figure ima važno svojstvo: visina ravne prizme jednaka je dužini njene bočne ivice. Imajte na umu da su sve bočne ivice slike jednake jedna drugoj. Što se tiče bočnih strana, u opštem slučaju one nisu jednake jedna drugoj. Njihova jednakost je moguća ako će, pored činjenice da je prizma ravna, biti i ispravna.
Slika ispod prikazuje ravnu figuru sa peterokutnom bazom. Može se vidjeti da su sve njegove bočne strane pravokutne.
Diagonale prizme i njeni linearni parametri
Glavne linearne karakteristike bilo koje prizme su njena visina h i dužine stranica njene baze ai, gdje je i=1, …, n. Ako je osnova pravilan poligon, dovoljno je znati dužinu a jedne strane da bi se opisali njegova svojstva. Poznavanje označenih linearnih parametara nam omogućava nedvosmislenodefinirati svojstva figure kao njen volumen ili površinu.
Diagonale ravne prizme su segmenti koji povezuju bilo koja dva nesusedna vrha. Takve dijagonale mogu biti tri vrste:
- leži u osnovnim ravnima;
- se nalazi u ravninama bočnih pravougaonika;
- figure koje pripadaju tom volumenu.
Dužine dijagonala koje se odnose na bazu treba odrediti ovisno o vrsti n-ugla.
Dijagonale bočnih pravougaonika izračunavaju se pomoću sljedeće formule:
d1i=√(ai2+ h2).
Da biste odredili dijagonale volumena, morate znati vrijednost dužine odgovarajuće osnovne dijagonale i visine. Ako je neka dijagonala baze označena slovom d0i, tada se dijagonala zapremine d2i izračunava na sljedeći način:
d2i=√(d0i2+ h2).
Na primjer, u slučaju pravilne četverokutne prizme, dužina dijagonale volumena će biti:
d2=√(2 × a2+ h2).
Zapazite da prava trouglasta prizma ima samo jednu od tri imenovane vrste dijagonala: bočnu dijagonalu.
Površina proučavane klase oblika
Površina je zbir površina svih lica figure. Da biste vizualizirali sva lica, trebate napraviti skeniranje prizme. Kao primjer, takav potez za petougaonu figuru je prikazan ispod.
Vidimo da je broj ravnih figura n + 2, a n su pravokutnici. Da biste izračunali površinu cijelog zamaha, dodajte površine dvije identične baze i površine svih pravokutnika. Tada će odgovarajuća formula izgledati ovako:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Ova jednakost pokazuje da je bočna površina za proučavani tip prizme jednaka umnošku visine figure i obima njene osnove.
Osnovna površina So može se izračunati primjenom odgovarajuće geometrijske formule. Na primjer, ako je osnova prave prizme pravokutni trokut, onda dobijamo:
So=a1 × a2 / 2.
Gdje su a1 i a2 noge trougla.
Ako je osnova n-ugao sa jednakim uglovima i stranicama, onda će sljedeća formula biti pravedna:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Formula volumena
Određivanje zapremine prizme bilo koje vrste nije težak zadatak ako su poznate njena osnovna površina So i visina h. Pomnožeći ove vrijednosti zajedno, dobijamo volumen V figure, to jest:
V=So × h.
Budući da je parametar h ravne prizme jednak dužini bočne ivice, cijeli problem izračunavanja zapremine svodi se na izračunavanje površine So. Iznad nasveć smo rekli nekoliko riječi i dali nekoliko formula za određivanje So. Ovdje samo napominjemo da u slučaju baze proizvoljnog oblika, trebate je razbiti na jednostavne segmente (trokute, pravokutnike), izračunati površinu svakog, a zatim dodati sve površine da dobijete S o.
