Može biti mnogo odgovora na pitanje šta je kvadrat. Sve zavisi od toga kome postavljate ovo pitanje. Muzičar će reći da je kvadrat 4, 8, 16, 32 takta ili džez improvizacija. Dijete - šta je igra s loptom ili dječji časopis. Štampač će vas poslati da proučite veličine tipa, a tehničar će vam poslati različite vrste metalno valjanih profila.
Postoji mnogo drugih značenja ove riječi, ali danas ćemo postaviti pitanje matematičaru. Dakle…
Postupno ćemo se baviti ovom cifrom, od jednostavnog do složenog, i početi s istorijom kvadrata. Kako je nastao, kako su ga doživljavali ljudi, naučnici iz različitih zemalja i civilizacija?
Istorija proučavanja kvadrata
Drevni svijet percipira kvadrat, uglavnom kao četiri kardinalne tačke. Općenito, unatoč brojnim četverokutima, kvadrat ima glavni broj - četiri. za Asirce iPeruanski trg - cijeli svijet, odnosno predstavlja četiri glavna pravca, kardinalne tačke.
Čak je i Univerzum predstavljen kao kvadrat, takođe podeljen na četiri dela - ovo je vizija stanovnika Severne Amerike. Za Kelte, svemir je čak tri kvadrata ugniježđena jedan u drugi, a četiri (!) rijeke teku iz centra. A Egipćani su generalno obogotvorili ovu cifru!
Po prvi put, Grci su opisali kvadrat koristeći matematičke formule. Ali za njih je ovaj poligon imao samo negativne karakteristike. Pitagora uopšte nije voleo parne brojeve, videći u njima slabost i ženstvenost.
Čak i religije imaju kvadrat. U islamu, Kaaba - pupak Zemlje - nema neki sferni, već kubični oblik.
U Indiji, glavni grafem koji prikazuje Zemlju, ili simbol zemlje, bio je ukršteni kvadrat. I opet, govorimo o četiri kardinalne tačke, četiri regiona Zemlje.
U Kini je trg mir, harmonija i red. Haos je poražen izgradnjom trga Vara. Kvadrat upisan u krug je osnova vizije svijeta, simbolizirajući jedinstvo i povezanost Kosmosa i Zemlje.
Pagan Russia - Svarog Square. Ovaj simbol se naziva i Svarogova zvijezda ili zvijezda Rusije. Prilično je složen, jer se sastoji od ukrštanih i zatvorenih linija. Svarog je bog-kovač, najvažniji tvorac, kreator i samo nebo u pogledu Rusa. U ovom simbolu nalazi se romb, koji opet govori o Zemlji i njena četiri pravca. I zvijezda sa četiri zraka - 4 kardinalne tačke, 4 lica Svaroga - njegovo sveznanje. A sjecište zraka je ognjište.
Zanimljivo o kvadratu
Najpopularnija fraza koja nam pada na pamet o našem glavnom liku je "Crni kvadrat".
Malevičeva slika je i dalje veoma popularna. I samog autora, nakon njegovog nastanka, dugo je mučilo pitanje šta je to i zašto običan crni kvadrat na beloj pozadini toliko privlači pažnju na sebe.
Ali ako bolje pogledate, primijetit ćete da ravan kvadrata nije glatka, a u pukotinama crne boje ima mnogo raznobojnih nijansi. Očigledno je u početku postojala određena kompozicija koja se autoru nije svidjela i on ju je ovom figurom zatvorio od naših očiju. Crni kvadrat je kao ništa - crna rupa, samo magičnog kvadratnog oblika. A poznato je da praznina privlači…
"Magični kvadrati" su takođe veoma popularni. Zapravo, ovo je tabela, naravno, kvadrat, ispunjen brojevima u svakoj koloni. Zbir ovih brojeva je isti u svim redovima, kolonama i dijagonalama (pojedinačno). Ako su dijagonale isključene iz jednakosti, tada je kvadrat polumagičan.
Albrecht Durer je 1514. godine stvorio sliku "Melanholija I", koja prikazuje magični kvadrat 4x4. U njemu je zbir brojeva svih kolona, redova, dijagonala pa čak i unutrašnjih kvadrata trideset četiri.
Na osnovu ovih tabela pojavile su se veoma zanimljive i popularne zagonetke - "Sudoku".
Egipćani su prvi povukli linije međusobne veze između brojeva (datum rođenja) i kvaliteta karaktera, sposobnosti i talenata osobe. Pitagora je uzeo ovo znanje, donekle ga preradio ipostavljen u kvadrat. Rezultat je Pitagorin kvadrat.
Ovo je već poseban pravac u numerologiji. Od datuma rođenja osobe, sabiranjem se računaju četiri glavna broja koja se stavljaju u psihomatricu (kvadrat). Tako na police izlažu sve tajne informacije o vašoj energiji, zdravlju, talentu, sreći, temperamentu i drugim stvarima. U prosjeku, prema anketama, pouzdanost je 60% -80%.
Šta je kvadrat?
Kvadrat je geometrijska figura. Oblik kvadrata je četverougao koji ima jednake stranice i uglove. Još preciznije, ovaj četvorougao se zove regularan.
Kvadrat ima svoje znakove. Ovo je:
- strane jednake dužine;
- jednaki uglovi - ravno (90 stepeni).
Zbog ovih znakova i karakteristika, krug se može upisati u kvadrat i opisati oko njega. Opisani krug će dodirivati sve svoje vrhove, upisani krug će dodirivati sredine svih svojih stranica. Njihov centar će se poklopiti sa središtem kvadrata i podijelit će sve njegove dijagonale na pola. Potonji su, zauzvrat, jednaki jedni drugima i dijele uglove kvadrata na jednake dijelove.
Jedna dijagonala dijeli kvadrat na dva jednakokraka trougla, oba na četiri.
Dakle, ako je dužina stranice kvadrata t, dužina poluprečnika opisane kružnice je R, a upisane kružnice r, tada
površina osnove kvadrata, ili površina kvadrata (S) će biti jednaka S=t2=2R 2=4r 2;
obim kvadrata P treba izračunati pomoću formule P=4t=4√2R=8r;
dužina radijusa opisane kružnice R=(√2/2)t;
upisano - r=t/2
Površinu osnove kvadrata može se izračunati i poznavanjem njegove stranice (a) ili dužine njegove dijagonale (c), tada će formule izgledati u skladu s tim: S=a 2 iS=1/2c2.
Šta je kvadrat, saznali smo. Pogledajmo pobliže detalje, jer je kvadratni lik najsimetričniji četverokut. Ima pet osi simetrije, pri čemu jedna (četvrtog reda) prolazi kroz centar i okomita je na ravan samog kvadrata, a ostale četiri su ose simetrije drugog reda, od kojih su dvije paralelne sa stranice, a još dvije prolaze kroz dijagonale kvadrata.
Metode za konstruisanje kvadrata
Na osnovu definicija, čini se da nema ništa lakše od izgradnje pravilnog kvadrata. To je tačno, ali pod uslovom da imate sav mjerni alat. Šta ako nešto nije na lageru?
Pogledajmo postojeće načine da nam pomognu da izgradimo ovaj oblik.
Mjerni lenjir i kvadrat su glavni alati pomoću kojih možete najlakše nacrtati kvadrat.
Prvo označite tačku, recimo A, od nje ćemo izgraditi osnovu kvadrata.
Koristeći lenjir, postavite rastojanje od njega udesno jednako dužini stranice, recimo 30 mm, i stavite tačku B.
Sada iz obe tačke, koristeći kvadrat, nacrtajte okomite od 30 mm svaka. Na krajeve okomica stavljamo tačke C i D koje međusobno povezujemoravnalo - to je to, kvadrat ABCD sa stranicom od 30 mm je spreman!
Prilično je lako napraviti kvadrat s ravnalom i kutomjerom. Počnite, kao u prethodnom slučaju, od tačke, recimo H, odvojite od nje horizontalni segment, na primjer 50 mm. Tačka O.
Sada povežite centar kutomjera sa tačkom H, stavite oznaku na vrijednost ugla 900, napravite vertikalni segment od 50 mm kroz njega i tačku H, stavite tačku P na njegov kraj. Zatim na sličan način konstruirajte treći segment iz tačke O pod uglom od 900 jednak 50 mm, neka se završava točkom P. Povežite tačke P i P Imate kvadrat od NORP-a sa dužinom stranice od 50 mm.
Možete izgraditi kvadrat koristeći samo šestar i ravnalo. Ako vam je važna veličina kvadrata i poznata je dužina stranice, trebat će vam i kalkulator.
Dakle, stavite prvu tačku E - ona će biti iz vrhova kvadrata. Zatim označite mjesto gdje će se nalaziti suprotni vrh W, odnosno stajati dijagonala HJ vaše figure. Ako gradite kvadrat veličine, a zatim imajući dužinu stranice, izračunajte dužinu dijagonale koristeći formulu:
d=√2a, gdje je a dužina stranice.
Nakon što znate dužinu dijagonale, konstruirajte segment EŽ ove vrijednosti. Iz tačke E, koristeći šestar u pravcu tačke F, nacrtajte polukrug poluprečnika EJ. I obrnuto, od tačke F - polukrug prema tački E, poluprečnika ISTOG. Kroz tačke preseka ovih polukrugova, pomoću ravnala, izgradite segment ZI. Jež i ZI se sijeku pod pravim uglom i dijagonale su budućeg kvadrata. Spajanjem tačaka EI, IZH, ZHZ i ZEkoristeći lenjir, dobićete upisani kvadrat EIHZ.
Još uvijek je moguće izgraditi kvadrat sa jednim ravnalom. Šta je kvadrat? Ovo je dio ravnine omeđen segmentima koji se sijeku (prave, zrake). Stoga možemo konstruirati kvadrat iz koordinata njegovih vrhova. Prvo nacrtajte koordinatne osi. Stranice kvadrata mogu ležati na njima, ili će se središte sjecišta dijagonala poklopiti s početnom točkom - ovisi o vašoj želji ili uvjetima problema. Možda će vaša figura biti udaljena od osi. U svakom slučaju, prvo označite dvije točke brojčanim vrijednostima (proizvoljno ili uslovno), tada ćete znati dužinu stranice kvadrata. Sada možete izračunati koordinate preostala dva vrha, imajući na umu da su stranice kvadrata jednake i da su međusobno paralelne u paru. Poslednji korak je da povežete sve tačke u seriju jedna s drugom pomoću ravnala.
Šta su kvadrati?
Kvadrat je figura koja je jasno definirana i striktno ograničena svojim definicijama, tako da se vrste kvadrata ne razlikuju po raznolikosti.
U neeuklidskoj geometriji, kvadrat se percipira šire - to je četvorougao sa jednakim stranicama i uglovima, ali stepen uglova nije postavljen. To znači da uglovi mogu biti 120 stepeni ("konveksni" kvadrat) i, na primer, 72 stepena ("konkavni" kvadrat).
Ako pitate geometra ili informatičara šta je kvadrat, oni će vam odgovoriti da je to potpun ili ravan graf (grafovi od K1 do K4). I toapsolutno pošteno. Graf ima vrhove i ivice. Kada formiraju uređeni par, formira se graf. Broj vrhova je red grafa, broj ivica je njegova veličina. Dakle, kvadrat je ravan graf sa četiri vrha i šest ivica, ili K4:6.
Kvadratna strana
Jedan od glavnih uslova za postojanje kvadrata - prisustvo jednakih stranica po dužini - čini stranicu veoma važnom za različite proračune. Ali u isto vrijeme, daje mnogo načina za izračunavanje dužine stranice kvadrata u prisustvu raznih ulaznih podataka.
Pa kako pronaći stranu kvadrata?
- Ako znate samo dužinu dijagonale kvadrata d, tada možete izračunati stranu koristeći sljedeću formulu: a=d/√2.
- Prečnik upisane kružnice jednak je strani kvadrata i, prema tome, dva radijusa, odnosno: a=D=2R.
- Poluprečnik opisane kružnice takođe vam može pomoći da izračunate koja je stranica kvadrata. Prečnik D možemo saznati iz poluprečnika R, koji je, pak, jednak dijagonali kvadrata d, a već znamo formulu za stranu kvadrata kroz dijagonalu: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
- Iz jednakosti strana slijedi da možete pronaći stranu kvadrata (a) koristeći njegov perimetar P ili površinu S: a=√S=P/4.
- Ako znamo dužinu prave koja izlazi iz ugla kvadrata i prelazi sredinu njegove susjedne stranice C, tada ćemo također moći saznati koja je dužina stranice kvadrata kvadrat: a=2C/√5.
Postoji toliko načina da saznate tako važan parametar kao što je dužina stranice kvadrata.
Kvadratna zapremina
Sama fraza je apsurdna. Šta je kvadrat? Ovo je ravna figura koja ima samo dva parametra - dužinu i širinu. A jačina zvuka? Ovo je kvantitativna karakteristika prostora koji predmet zauzima, odnosno može se izračunati samo za volumetrijska tijela.
3D tijelo, čije su sve strane kvadrati - kocka. Unatoč kolosalnoj i fundamentalnoj razlici, školarci često pokušavaju izračunati volumen kvadrata. Ako neko uspije, Nobelova nagrada je zagarantovana.
A da biste saznali zapreminu kocke V, dovoljno je pomnožiti sve tri njene ivice - a, b, c: V=abc. A pošto su jednaki po definiciji, formula može izgledati drugačije: V=a3.
Količine, dijelovi i specifikacije
Kvadrat, kao i svaki poligon, ima vrhove - to su tačke u kojima se njegove stranice seku. Vrhovi kvadrata leže na kružnici koja je opisana oko njega. Dijagonala prolazi kroz vrh do centra kvadrata, koji je ujedno i simetrala i poluprečnik opisane kružnice.
Pošto je kvadrat ravna figura, nemoguće je secirati i konstruirati dio kvadrata. Ali to može biti rezultat presjeka mnogih trodimenzionalnih tijela ravninom. Na primjer, cilindar. Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik ili kvadrat. Čak i kada se tijelo siječe s ravninom pod proizvoljnim uglom, kvadrat može ispasti!
Ali kvadrat ima drugu vezu sa presekom, ali ne sa bilo kojim, već sa zlatnim presekom.
Svi znamo da je zlatni omjer proporcija u kojoj je jedna vrijednost povezana s drugom na isti način kaonjihov zbir na veću vrijednost. U generaliziranim procentima, to izgleda ovako: originalna vrijednost (iznos) je podijeljena sa 62 i 38 posto.
Zlatni rez je veoma popularan. Koristi se u dizajnu, arhitekturi, bilo gdje, čak i u privredi. Ali ovo je daleko od jedine proporcije koju je izveo Pitagora. Postoji, na primjer, još jedan izraz "√2". Na njegovoj osnovi grade se dinamički pravokutnici, koji su zauzvrat osnivači formata A grupe (A6, A5, A4, itd.). Zašto govorimo o dinamičkim pravokutnicima? Jer njihova konstrukcija počinje kvadratom.
Da, prvo morate izgraditi kvadrat. Njegova stranica će biti jednaka manjoj strani budućeg pravokutnika. Zatim je potrebno nacrtati dijagonalu ovog kvadrata i pomoću šestara odvojiti dužinu ove dijagonale na nastavku stranice kvadrata. Od tačke dobijene na raskrižju gradimo pravougaonik, za koji ponovo gradimo dijagonalu i odvajamo njenu dužinu na nastavku stranice. Ako nastavite da radite prema ovoj šemi, dobit ćete iste dinamičke pravokutnike.
Odnos duge strane prvog pravougaonika i kratke strane će biti 0,7. To je skoro 0,68 u zlatnom omjeru.
Kvadratni uglovi
Zapravo, već je teško reći nešto novo o uglovima. Sve nekretnine, to su znakovi kvadrata, naveli smo. Što se tiče uglova, ima ih četiri (kao u svakom četvorouglu), svaki ugao u kvadratu je pravi, odnosno ima veličinu od devedeset stepeni. A-prioritet,postoji samo pravougaoni kvadrat. Ako su uglovi veći ili manji, ovo je drugi oblik.
Diagonale kvadrata dijele njegove uglove na pola, to jest, one su simetrale.
Kvadratna jednadžba
Ako je potrebno izračunati vrijednost različitih veličina kvadrata (površine, perimetra, dužine stranica ili dijagonala), koristite različite jednadžbe koje su izvedene iz svojstava kvadrata, osnovnih zakona i pravila geometrije.
1. Jednačina kvadratne površine
Iz jednadžbi za izračunavanje površine četvorougla znamo da je ona (površina) jednaka proizvodu dužine i širine. A pošto su stranice kvadrata iste dužine, tada će njegova površina biti jednaka dužini bilo koje stranice podignute na drugi stepen
S=a2.
Koristeći Pitagorinu teoremu, možemo izračunati površinu kvadrata s obzirom na dužinu njegove dijagonale.
S=d2/2.
2. Jednačina kvadratnog perimetra
Obim kvadrata, kao i svih četvorougla, jednak je zbiru dužina njegovih stranica, a pošto su sve iste, možemo reći da je obim kvadrata jednak dužini strana pomnožena sa četiri
P=a+a+a+a=4a.
Opet, Pitagorina teorema će nam pomoći da pronađemo perimetar kroz dijagonalu. Trebate pomnožiti vrijednost dužine dijagonale sa dva korijena od dva
P=2√2d
3. Jednačina kvadratne dijagonale
Diagonale kvadrata su jednake, sijeku se pod pravim uglom i dijele tačku sjecišta na pola.
Možete ih pronaći na osnovu gornjih jednačina za površinu i perimetar kvadrata
d=√2a, d=√2S,d=P/2√2
Postoje i drugi načini da saznate koja je dužina dijagonale kvadrata. Poluprečnik kruga upisanog u kvadrat jednak je polovini njegove dijagonale, dakle
d=√2D=2√2R, gdje je D prečnik, a R poluprečnik upisane kružnice.
Poznavajući poluprečnik opisane kružnice, još je lakše izračunati dijagonalu, jer je to prečnik, odnosno d=D=2R.
Takođe je moguće izračunati dužinu dijagonale, znajući dužinu linije koja se proteže od ugla do centra stranice kvadrata C: d=√8/5C.
Ali ne zaboravite da je kvadrat presek ravni omeđen sa četiri prave koje se seku.
Postoji dovoljno jednadžbi za linije (i figure formirane od njih) kojima nije potreban dodatni opis, ali je prava beskonačna. A poligoni su ograničeni presjekom linija. Za njih možete koristiti linearne jednačine kombinovane u sistem koji definiše prave linije. Ali potrebno je navesti dodatne parametre, uslove.
Da bi se definirali poligoni, potrebno je sastaviti jednačinu koja bi opisala ne liniju, već poseban proizvoljni segment bez intervencije dodatnih uslova i opisa.
[x/xi][xi/x]yi - ovdje je posebna jednadžba za poligone.
Uglaste zagrade u njemu označavaju uslov za izuzimanje razlomka broja, odnosno moramo ostaviti samo cijeli broj. yi - funkcija koja će se izvršavati u rasponu parametara od x do xi.
Upotrebom ove jednačine možemo izvesti novujednadžbe za izračunavanje segmenata i linija koje se sastoje od nekoliko segmenata. Osnovni je, univerzalan za poligone.
Zapamtite da je kvadrat dio ravni, pa se njegov opis poput y=f(x) može predstaviti, najčešće, samo kao viševrijedna funkcija, koja se, pak, može izraziti u termini jednovrijednih funkcija ako su predstavljeni parametarski, tj. u zavisnosti od nekog parametra t:
x=f(t), y=f(t).
Dakle, ako koristite univerzalnu jednačinu i parametarski prikaz zajedno, zapravo možete izvesti jednačinu za izražavanje poligona:
x=((A2+A3)A5+A4P)Cos(L)
y=((A1+A4)A5+A3P)Sin(L), gdje
A1=[1/[T/P][T/P]; A2=[2/[T/P][T/P]/2]; A3=[3/[T/P][T/P]/3]; A4=[4/[T/P][T/P]/4]; A5=T-P[T/P], gdje je P dijagonala pravougaonika, L je ugao nagiba u odnosu na horizontalu dijagonale P, T je parametar u rasponu od P do 5P.
Ako je L=3, 14/4, tada će jednadžba opisivati kvadrate različitih veličina, ovisno o veličini dijagonale P.
Primjena kvadrata
U modernom svijetu tehnologija omogućava da se raznim materijalima daju kvadratni oblik, tačnije kvadratni presjek.
Na mnogo načina je isplativije, jeftinije, izdržljivije i sigurnije. Dakle, sada prave kvadratne cijevi, šipove, žice (žice) pa čak i četvrtaste niti.
Glavne prednosti su očigledne, dolaze iz elementarne geometrije. S istom veličinom, površina upisane kružnice manja je od površine kvadrata u koji je upisana, dakle,propusnost kvadratne cijevi ili energetski sadržaj kvadratne žice bit će veći od one okrugle cijevi.
Potrošni materijal kvadratnog presjeka je često estetski ugodniji i praktičniji za upotrebu, montiranje, montiranje.
Prilikom odabira ovih materijala važno je pravilno izračunati poprečni presjek kvadrata kako bi žica ili cijev mogla izdržati potrebno opterećenje. U svakom pojedinačnom slučaju, naravno, bit će potrebni parametri kao što su jačina struje ili pritisak, ali ne može se bez osnovnih geometrijskih pravila kvadrata. Iako se dimenzije kvadratnih presjeka više ne računaju toliko, već se biraju prema datim parametrima iz tabela koje su GOST-ovi uspostavili za različite industrije.
