U srednjoj školi, nakon proučavanja osobina figura na ravni, prelaze na razmatranje prostornih geometrijskih objekata kao što su prizme, sfere, piramide, cilindri i stošci. U ovom članku ćemo dati najpotpuniji opis ravne trokutaste prizme.
Šta je trouglasta prizma?
Počnimo članak s definicijom figure, o kojoj će biti riječi dalje. Prizma sa gledišta geometrije je lik u prostoru formiran od dva identična n-ugla smještena u paralelnim ravnima, čiji su isti uglovi povezani pravim segmentima. Ovi segmenti se nazivaju bočna rebra. Zajedno sa stranicama osnove, oni formiraju bočnu površinu, koja je općenito predstavljena paralelogramima.
Dva n-ugla su osnove figure. Ako su bočne ivice okomite na njih, onda govore o pravoj prizmi. Prema tome, ako je broj stranica n mnogougla u bazama tri, onda se takva figura naziva trouglasta prizma.
Truglasta ravna prizma je prikazana iznad na slici. Ova figura se naziva i pravilna, jer su njene osnove jednakostranični trouglovi. Dužina bočne ivice figure, označena slovom h na slici, naziva se njena visina.
Slika pokazuje da je prizma sa trouglastom osnovom formirana od pet lica, od kojih su dvije jednakostranični trouglovi, a tri identični pravokutnici. Pored lica, prizma ima šest vrhova u osnovima i devet ivica. Brojevi razmatranih elemenata su međusobno povezani Ojlerovom teoremom:
broj ivica=broj vrhova + broj strana - 2.
Površina prave trouglaste prizme
Iznad smo saznali da se dotična figura sastoji od pet lica dva tipa (dva trougla, tri pravougaonika). Sva ova lica čine punu površinu prizme. Njihova ukupna površina je površina figure. Ispod je rasklop trokutaste prizme, koji se može dobiti tako da se prvo odsijeku dvije baze od figure, a zatim seče duž jedne ivice i otklopi bočna površina.
Dajmo formule za određivanje površine ovog zamaha. Počnimo s osnovama prave trouglaste prizme. Pošto predstavljaju trouglove, površina S3 svakog od njih može se naći na sljedeći način:
S3=1/2aha.
Ovdje je a stranica trougla, ha je visina spuštena od vrha trougla na ovu stranu.
Ako je trougao jednakostraničan (pravilan), tada formula za S3 zavisi samo od jednog parametra a. Izgleda kao:
S3=√3/4a2.
Ovaj izraz se može dobiti razmatranjem pravougaonog trokuta koji čine segmenti a, a/2, ha.
Površina baza So za redovnu cifru je dvostruko veća od vrijednosti S3:
So=2S3=√3/2a2.
Što se tiče bočne površine Sb, nije je teško izračunati. Da biste to učinili, dovoljno je pomnožiti sa tri površinu jednog pravokutnika formiranog od strane a i h. Odgovarajuća formula je:
Sb=3ah.
Dakle, površina pravilne prizme sa trouglastom bazom nalazi se po sljedećoj formuli:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Ako je prizma ravna, ali nepravilna, onda da biste izračunali njenu površinu, trebate posebno dodati površine pravougaonika koji nisu jednaki jedan drugom.
Određivanje zapremine figure
Zapremina prizme se shvata kao prostor ograničen njenim stranicama (licama). Izračunavanje zapremine prave trouglaste prizme mnogo je lakše nego izračunavanje njene površine. Da biste to učinili, dovoljno je znati površinu baze i visinu figure. Kako je visina h ravne figure dužina njene bočne ivice, a kako izračunati površinu osnove, dali smo u prethodnomtačku, onda ostaje pomnožiti ove dvije vrijednosti jedna na drugu kako bi se dobio željeni volumen. Formula za to je:
V=S3h.
Imajte na umu da će proizvod površine jedne baze i visine dati volumen ne samo ravne prizme, već i kosog lika, pa čak i cilindra.
Rješavanje problema
Staklene trokutaste prizme se koriste u optici za proučavanje spektra elektromagnetnog zračenja zbog fenomena disperzije. Poznato je da obična staklena prizma ima osnovnu stranu dužine 10 cm i dužinu ivice 15 cm. Kolika je površina njenih staklenih površina i koliki volumen sadrži?
Da odredimo površinu, koristićemo formulu napisanu u članku. Imamo:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536.6cm2.
Da odredimo zapreminu V, koristimo i gornju formulu:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 cm3.
Uprkos činjenici da su ivice prizme dugačke 10 cm i 15 cm, zapremina figure je samo 0,65 litara (kocka sa stranicom od 10 cm ima zapreminu od 1 litar).
