U školskom kursu geometrije čvrstog tela, jedna od najjednostavnijih figura koja ima dimenzije različite od nule duž tri prostorne ose je četvorougaona prizma. Razmotrite u članku kakva je to figura, od kojih elemenata se sastoji, kao i kako možete izračunati njenu površinu i zapreminu.
Koncept prizme
U geometriji, prizma je prostorna figura, koju čine dvije identične baze i bočne površine koje spajaju stranice ovih baza. Imajte na umu da se obje baze transformiraju jedna u drugu korištenjem operacije paralelnog prevođenja nekim vektorom. Ovo dodjeljivanje prizme dovodi do činjenice da su sve njene stranice uvijek paralelogrami.
Broj strana baze može biti proizvoljan, počevši od tri. Kada ovaj broj teži beskonačnosti, prizma se glatko pretvara u cilindar, jer njena osnova postaje krug, a bočni paralelogrami, spajajući se, formiraju cilindričnu površinu.
Kao i svaki poliedar, prizmu karakterišestranice (ravnine koje ograničavaju figuru), ivice (odsječke duž kojih se sijeku bilo koje dvije strane) i vrhove (tačke susreta triju strana, za prizmu dvije su bočne, a treća je osnova). Količine tri navedena elementa na slici su međusobno povezane sljedećim izrazom:
P=C + B - 2
Ovde su P, C i B broj ivica, stranica i vrhova, respektivno. Ovaj izraz je matematička notacija Ojlerove teoreme.
Na gornjoj slici su prikazane dvije prizme. U osnovi jednog od njih (A) leži pravilan šesterokut, a bočne stranice su okomite na baze. Slika B prikazuje drugu prizmu. Njegove stranice više nisu okomite na baze, a osnova je pravilan petougao.
Šta je četvorougaona prizma?
Kao što je jasno iz gornjeg opisa, tip prizme je prvenstveno određen tipom poligona koji čini osnovu (obe baze su iste, tako da možemo govoriti o jednoj od njih). Ako je ovaj poligon paralelogram, onda dobijamo četvorougaonu prizmu. Dakle, sve strane ove vrste prizme su paralelogrami. Četvorougaona prizma ima svoje ime - paralelepiped.
Broj stranica paralelepipeda je šest, a svaka strana ima sličnu paralelu. Pošto su osnove kutije dvije strane, preostale četiri su bočne.
Broj vrhova paralelepipeda je osam, što je lako vidjeti ako se sjetimo da se vrhovi prizme formiraju samo na vrhovima osnovnih poligona (4x2=8). Primjenom Ojlerove teoreme dobijamo broj ivica:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Od 12 rebara, samo 4 se formiraju nezavisno sa strane. Preostalih 8 leže u ravninama osnova figure.
Dalje u članku ćemo govoriti samo o četverokutnim prizmama.
Vrste paralelepipeda
Prva vrsta klasifikacije su karakteristike paralelograma u osnovi. Može izgledati ovako:
- pravilan, čiji uglovi nisu jednaki 90o;
- pravougaonik;
- kvadrat je pravilan četvorougao.
Drugi tip klasifikacije je ugao pod kojim strana prelazi osnovu. Ovdje su moguća dva različita slučaja:
- ovaj ugao nije ravan, tada se prizma naziva kosom ili kosom;
- ugao je 90o, tada je takva prizma pravougaona ili samo ravna.
Treći tip klasifikacije se odnosi na visinu prizme. Ako je prizma pravokutna, a osnova je kvadrat ili pravougaonik, onda se naziva kockast. Ako je u osnovi kvadrat, prizma je pravougaona, a njena visina je jednaka dužini stranice kvadrata, onda dobijamo dobro poznatu figuru kocke.
Površina i površina prizme
Skup svih tačaka koje leže na dvije baze prizme(paralelogram) i na njegovim stranicama (četiri paralelograma) čine površinu figure. Površina ove površine može se izračunati izračunavanjem površine baze i ove vrijednosti za bočnu površinu. Tada će njihov zbir dati željenu vrijednost. Matematički, ovo se piše na sljedeći način:
S=2So+ Sb
Ovde So i Sb su površina baze i bočne površine, respektivno. Broj 2 prije So pojavljuje se jer postoje dvije baze.
Imajte na umu da pisana formula vrijedi za bilo koju prizmu, a ne samo za površinu četverokutne prizme.
Korisno je podsjetiti da se površina paralelograma Sp izračunava po formuli:
Sp=ah
Gdje simboli a i h označavaju dužinu jedne od njenih stranica i visinu povučenu na ovu stranu, respektivno.
Površina pravokutne prizme s kvadratnom osnovom
U pravilnoj četvorougaonoj prizmi, osnova je kvadrat. Radi određenosti, njegovu stranu označavamo slovom a. Da biste izračunali površinu pravilne četverokutne prizme, trebali biste znati njenu visinu. Prema definiciji za ovu veličinu, ona je jednaka dužini okomice spuštene s jedne baze na drugu, odnosno jednaka je udaljenosti između njih. Označimo ga slovom h. Pošto su sve bočne strane okomite na osnove za tip prizme koji se razmatra, visina pravilne četvorougaone prizme biće jednaka dužini njene bočne ivice.
BOpća formula za površinu prizme je dva člana. Površina baze u ovom slučaju je lako izračunati, jednaka je:
So=a2
Da bismo izračunali površinu bočne površine, tvrdimo kako slijedi: ovu površinu čine 4 identična pravokutnika. Štaviše, stranice svake od njih jednake su a i h. To znači da će površina Sb biti jednaka:
Sb=4ah
Imajte na umu da je proizvod 4a obim kvadratne osnove. Ako generaliziramo ovaj izraz na slučaj proizvoljne baze, tada se za pravokutnu prizmu bočna površina može izračunati na sljedeći način:
Sb=Poh
Gdje je Po obim baze.
Vraćajući se na problem izračunavanja površine pravilne četvorougaone prizme, možemo napisati konačnu formulu:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Oblast kosog paralelepipeda
Izračunavanje je nešto teže nego za pravougaonik. U ovom slučaju, površina osnove četverokutne prizme izračunava se pomoću iste formule kao i za paralelogram. Promjene se tiču načina na koji se određuje bočna površina.
Da biste to učinili, koristite istu formulu kroz perimetar kao što je dato u gornjem paragrafu. Samo što će sada imati malo drugačije množitelje. Opšta formula za Sb u slučaju kose prizme je:
Sb=Psrc
Ovdje c je dužina bočne ivice figure. Vrijednost Psr je obim pravokutnog preseka. Ovo okruženje se gradi na sljedeći način: potrebno je presjeći sve bočne strane ravninom tako da bude okomita na sve njih. Rezultirajući pravougaonik će biti željeni rez.
Slika iznad pokazuje primjer kosog okvira. Njegov šrafirani presjek formira prave uglove sa stranicama. Obim sekcije je Psr. Sastoji se od četiri visine bočnih paralelograma. Za ovu četvorougaonu prizmu, bočna površina se izračunava korišćenjem gornje formule.
Dužina dijagonale kvadra
Diagonala paralelepipeda je segment koji spaja dva vrha koji nemaju zajedničke stranice koje ih formiraju. U svakoj četvorougaonoj prizmi postoje samo četiri dijagonale. Za kvadar sa pravougaonikom u osnovi, dužine svih dijagonala su jednake jedna drugoj.
Slika ispod pokazuje odgovarajuću cifru. Crveni segment je njegova dijagonala.
Izračunavanje njegove dužine je vrlo jednostavno, ako se sjećate Pitagorine teoreme. Svaki učenik može dobiti željenu formulu. Ima sljedeći oblik:
D=√(A2+ B2 + C2)
Ovdje D je dužina dijagonale. Preostali znakovi su dužine stranica kutije.
Mnogi ljudi brkaju dijagonalu paralelepipeda sa dijagonalama njegovih stranica. Ispod je slika na kojoj je u bojisegmenti predstavljaju dijagonale strana figure.
Dužina svakog od njih je također određena Pitagorinom teoremom i jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata odgovarajućih dužina stranica.
Zapremina prizme
Pored površine pravilne četvorougaone prizme ili drugih vrsta prizmi, da biste rešili neke geometrijske probleme, trebalo bi da znate i njihovu zapreminu. Ova vrijednost za apsolutno bilo koju prizmu izračunava se po sljedećoj formuli:
V=Soh
Ako je prizma pravougaona, tada je dovoljno izračunati površinu njene osnove i pomnožiti je sa dužinom ivice stranice da dobijete zapreminu figure.
Ako je prizma pravilna četvorougaona prizma, tada će njen volumen biti:
V=a2h.
Lako je vidjeti da se ova formula pretvara u izraz za zapreminu kocke ako je dužina bočne ivice h jednaka stranici osnove a.
Problem sa kvadrom
Za konsolidaciju proučavanog materijala riješit ćemo sljedeći problem: postoji pravougaoni paralelepiped čije su stranice 3 cm, 4 cm i 5 cm. Potrebno je izračunati njegovu površinu, dužinu dijagonale i zapreminu.
Radi preciznosti, pretpostavićemo da je osnova figure pravougaonik sa stranicama od 3 cm i 4 cm. Tada je njegova površina 12 cm2, a period je 14 cm. Koristeći formulu za površinu prizme, dobijamo:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Da biste odredili dužinu dijagonale i volumen figure, možete direktno koristiti gornje izraze:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problem sa kosim paralelepipedom
Slika ispod prikazuje kosu prizmu. Njegove stranice su jednake: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Morate pronaći površinu ove figure.
Prvo, odredimo površinu baze. Slika pokazuje da je oštar ugao 50o. Tada je njegova površina:
So=ha=sin(50o)ba
Da biste odredili površinu bočne površine, trebali biste pronaći obim zasjenjenog pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika su asin(45o) i bsin(60o). Tada je obim ovog pravougaonika:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Ukupna površina ove kutije je:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Podatke iz uslova zadatka zamijenimo za dužine stranica figure, dobijemo odgovor:
S=458, 5496 cm3
Iz rješenja ovog problema se vidi da se trigonometrijske funkcije koriste za određivanje površina kosih figura.
