Apotema piramide. Formule za apotemu pravilne trouglaste piramide

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Piramida je prostorni poliedar, ili poliedar, koji se javlja u geometrijskim problemima. Glavna svojstva ove figure su njen volumen i površina, koji se izračunavaju iz poznavanja bilo koje dvije njegove linearne karakteristike. Jedna od ovih karakteristika je apotema piramide. O tome će biti riječi u članku.

Oblik piramide

Pre nego što damo definiciju apoteme piramide, hajde da se upoznamo sa samom figurom. Piramida je poliedar, koji je formiran od jedne n-ugaone osnove i n trokuta koji čine bočnu površinu figure.

Svaka piramida ima vrh - tačku veze svih trouglova. Okomita povučena iz ovog vrha na osnovu naziva se visina. Ako visina siječe bazu u geometrijskom centru, tada se figura naziva ravna linija. Prava piramida sa jednakostraničnom osnovom naziva se pravilna piramida. Na slici je prikazana piramida sa heksagonalnom osnovom, koja se gleda sa strane lica i ivice.

Apotema desne piramide

Ona se takođe zove apotema. Podrazumijeva se kao okomita povučena od vrha piramide prema bočnoj strani osnove figure. Po definiciji, ova okomica odgovara visini trougla koji formira bočnu stranu piramide.

Pošto razmatramo pravilnu piramidu sa n-ugaonom osnovom, tada će svih n apotema za nju biti isti, jer su takvi jednakokraki trouglovi bočne površine figure. Imajte na umu da su identične apoteme svojstvo pravilne piramide. Za figuru opšteg tipa (kosa sa nepravilnim n-uglom), svih n apotema će biti različito.

Još jedno svojstvo apotema pravilne piramide je da je istovremeno visina, medijana i simetrala odgovarajućeg trougla. To znači da ga ona dijeli na dva identična pravokutna trougla.

Trouglasta piramida i formule za određivanje njene apoteme

U bilo kojoj pravilnoj piramidi, važne linearne karakteristike su dužina stranice njene osnove, bočna ivica b, visina h i apotema h_{b. Ove količine su međusobno povezane odgovarajućim formulama, koje se mogu dobiti crtanjem piramide i uzimanjem u obzir potrebnih pravokutnih trokuta.}

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od 4 trouglaste strane, a jedna od njih (osnova) mora biti jednakostranična. Ostalo su jednakokračne u opštem slučaju. apothemtrokutasta piramida se može odrediti u smislu drugih veličina koristeći sljedeće formule:

h_b=√(b²- a^2/4);/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Prvi od ovih izraza važi za piramidu sa bilo kojom tačnom osnovom. Drugi izraz karakterističan je samo za trouglastu piramidu. Pokazuje da je apotema uvijek veća od visine figure.

Ne brkajte apotemu piramide sa apotemom poliedra. U potonjem slučaju, apotema je okomit segment povučen na stranu poliedra iz njegovog središta. Na primjer, apotem jednakostraničnog trougla je √3/6a.

Apothem zadatak

Neka je data pravilna piramida sa trouglom u osnovi. Potrebno je izračunati njenu apotemu ako se zna da je površina ovog trougla 34 cm2, a sama piramida se sastoji od 4 identična lica.

U skladu sa uslovom zadatka, imamo posla sa tetraedrom koji se sastoji od jednakostraničnih trouglova. Formula za površinu jednog lica je:

S=√3/4a2

Odakle dobijamo dužinu stranice a:

a=2√(S/√3)

Da odredimo apotemu h_{bkoristimo formulu koja sadrži bočnu ivicu b. U slučaju koji se razmatra, njegova dužina je jednaka dužini baze, imamo:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Zamjena vrijednosti od a do S,dobijamo konačnu formulu:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Dobili smo jednostavnu formulu u kojoj apotema piramide zavisi samo od površine njene osnove. Ako zamijenimo vrijednost S iz uslova zadatka, dobijamo odgovor: h_{b≈ 7, 674 cm.}