U geometriji se koriste dvije važne karakteristike za proučavanje figura: dužine stranica i uglovi između njih. U slučaju prostornih figura, ovim karakteristikama se dodaju i diedarski uglovi. Hajde da razmotrimo šta je to, i takođe opišemo metodu za određivanje ovih uglova na primeru piramide.
Koncept diedralnog ugla
Svi znaju da dvije linije koje se seku formiraju ugao sa vrhom u tački njihovog preseka. Ovaj ugao se može izmjeriti kutomjerom ili možete koristiti trigonometrijske funkcije da biste ga izračunali. Ugao koji formiraju dva prava ugla naziva se linearan.
Sada zamislite da u trodimenzionalnom prostoru postoje dvije ravni koje se seku u pravoj liniji. Prikazane su na slici.
Diedarski ugao je ugao između dve ravni koje se seku. Baš kao i linearni, mjeri se u stepenima ili radijanima. Ako u bilo koju tačku prave duž koje se ravnine sijeku, vratite dvije okomice,koji leže u ovim ravnima, tada će ugao između njih biti željeni diedar. Najlakši način za određivanje ovog ugla je korištenje općih jednačina ravnina.
Jednačina ravnina i formula za ugao između njih
Jednačina bilo koje ravni u prostoru u opštem smislu piše se na sledeći način:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Ovde su x, y, z koordinate tačaka koje pripadaju ravni, koeficijenti A, B, C, D su neki poznati brojevi. Pogodnost ove jednakosti za izračunavanje diedarskih uglova je u tome što eksplicitno sadrži koordinate vektora pravca ravnine. Označićemo ga sa n¯. Zatim:
n¯=(A; B; C).
Vektor n¯ je okomit na ravan. Ugao između dvije ravni jednak je kutu između njihovih vektora smjera n1¯ i n2¯. Iz matematike je poznato da je ugao koji formiraju dva vektora jedinstveno određen iz njihovog skalarnog proizvoda. Ovo vam omogućava da napišete formulu za izračunavanje diedralnog ugla između dvije ravni:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Ako zamijenimo koordinate vektora, formula će biti napisana eksplicitno:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Modulo znak u brojiocu se koristi za definisanje samo oštrog ugla, pošto je diedarski ugao uvek manji ili jednak 90o.
Piramida i njeni uglovi
Piramida je lik formiran od jednog n-ugla i n trouglova. Ovdje je n cijeli broj jednak broju stranica poligona koji je osnova piramide. Ova prostorna figura je poliedar ili poliedar, jer se sastoji od ravnih strana (strana).
Diedralni uglovi piramide-poliedra mogu biti dva tipa:
- između baze i stranice (trougla);
- između dvije strane.
Ako se piramida smatra pravilnom, tada je lako odrediti imenovane uglove za nju. Da biste to učinili, koristeći koordinate tri poznate tačke, treba sastaviti jednadžbu ravnina, a zatim koristiti formulu datu u gornjem pasusu za ugao φ.
U nastavku dajemo primjer u kojem pokazujemo kako pronaći diedralne uglove u osnovi četvorougaone pravilne piramide.
Četvorougaona pravilna piramida i ugao u njenoj osnovi
Pretpostavimo da je data pravilna piramida sa kvadratnom bazom. Dužina stranice kvadrata je a, visina figure je h. Pronađite ugao između osnove piramide i njene stranice.
Postavimo početak koordinatnog sistema u centar kvadrata. Zatim koordinate tačakaA, B, C, D prikazani na slici će biti:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Razmotrimo avione ACB i ADB. Očigledno, vektor smjera n1¯ za ACB ravan će biti:
1¯=(0; 0; 1).
Da odredite vektor smjera n2¯ ADB ravni, postupite na sljedeći način: pronađite dva proizvoljna vektora koja joj pripadaju, na primjer, AD¯ i AB¯, zatim izračunajte njihov vektorski rad. Njegov rezultat će dati koordinate n2¯. Imamo:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Pošto množenje i dijeljenje vektora brojem ne mijenja njegov smjer, transformiramo rezultirajući n2¯, dijeleći njegove koordinate sa -a, dobijamo:
2¯=(h; 0; a/2).
Definisali smo vektorske vodilice n1¯ i n2¯ za ACB bazu i ADB bočne ravni. Ostaje koristiti formulu za ugao φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformirajte rezultirajući izraz i prepišite ga ovako:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Dobili smo formulu za diedarski ugao u osnovi za pravilnu četvorougaonu piramidu. Znajući visinu figure i dužinu njene stranice, možete izračunati ugao φ. Na primjer, za Keopsovu piramidu, čija je osnovna strana 230,4 metara, a početna visina 146,5 metara, ugao φ će biti 51,8o.
Takođe je moguće odrediti diedralni ugao za četvorougaonu pravilnu piramidu koristeći geometrijsku metodu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti u obzir pravokutni trokut formiran visinom h, polovinom dužine osnove a/2 i apotemom jednakokračnog trougla.
