Uglovi između ravnina. Kako odrediti ugao između ravnina

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Prilikom rješavanja geometrijskih zadataka u prostoru često se javljaju oni gdje je potrebno izračunati uglove između različitih prostornih objekata. U ovom članku ćemo razmotriti pitanje pronalaženja uglova između ravnina i između njih i prave linije.

Linija u prostoru

Poznato je da se apsolutno svaka prava linija u ravni može definirati sljedećom jednakošću:

y=ax + b

Ovde a i b su neki brojevi. Ako ravnu liniju u prostoru predstavimo istim izrazom, onda ćemo dobiti ravan paralelnu z osi. Za matematičku definiciju prostorne linije koristi se drugačija metoda rješenja nego u dvodimenzionalnom slučaju. Sastoji se od korištenja koncepta "vektora smjera".

Vektor usmjeravanja prave linije pokazuje njenu orijentaciju u prostoru. Ovaj parametar pripada liniji. Pošto postoji beskonačan skup vektora paralelnih u prostoru, onda je za jedinstveno određivanje razmatranog geometrijskog objekta potrebno znati i koordinate tačke koja mu pripada.

Pretpostavimo da postojitačka P(x₀; y₀; z_{0) i vektor smjera v¯(a; b; c), tada se jednačina prave linije može dati na sljedeći način:}

(x; y; z)=P + αv¯ ili

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Ovaj izraz se naziva parametarska vektorska jednadžba prave linije. Koeficijent α je parametar koji može uzeti apsolutno bilo koju realnu vrijednost. Koordinate prave mogu se eksplicitno predstaviti proširenjem ove jednakosti:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Jednačina ravni

Postoji nekoliko oblika pisanja jednadžbe za ravan u prostoru. Ovdje ćemo razmotriti jednu od njih, koja se najčešće koristi pri izračunavanju uglova između dvije ravni ili između jedne od njih i prave linije.

Ako je poznat neki vektor n¯(A; B; C), koji je okomit na željenu ravan, i tačka P(x₀; y ₀; z_{0), koji joj pripada, onda je opšta jednačina za potonju:}

Ax + By + Cz + D=0 gdje je D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Izostavili smo izvođenje ovog izraza, koji je prilično jednostavan. Ovdje samo napominjemo da se, znajući koeficijente varijabli u jednadžbi ravni, lako mogu pronaći svi vektori koji su okomiti na nju. Potonje se nazivaju normalama i koriste se za izračunavanje uglova između nagnute i ravnine i izmeđuproizvoljni analozi.

Lokacija ravnina i formula za ugao između njih

Recimo da postoje dva aviona. Koje su opcije za njihov relativni položaj u prostoru. Kako ravan ima dvije beskonačne dimenzije i jednu nulu, moguće su samo dvije opcije za njihovu međusobnu orijentaciju:

oni će biti paralelni jedan s drugim;
mogu se preklapati.

Ugao između ravni je indeks između njihovih vektora smjera, tj. između njihovih normala n₁¯ i n_2¯.

Očigledno, ako su paralelni sa ravninom, tada je ugao preseka nula između njih. Ako se sijeku, onda je različit od nule, ali uvijek oštar. Poseban slučaj preseka će biti ugao 90o, kada su ravni međusobno okomite jedna na drugu.

Ugao α između n₁¯ i n_{2¯ se lako određuje iz skalarnog proizvoda ovih vektora. To jest, formula se odvija:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Pretpostavimo da su koordinate ovih vektora: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Zatim, koristeći formule za izračunavanje skalarnog proizvoda i modula vektora kroz njihove koordinate, gornji izraz se može prepisati kao:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modul u brojiocu se pojavio jer se isključuju vrijednosti tupih uglova.

Primjeri rješavanja zadataka za određivanje ugla presjeka ravnina

Znajući kako pronaći ugao između ravnina, riješit ćemo sljedeći problem. Date su dvije ravni, čije su jednačine:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Koji je ugao između ravni?

Da odgovorimo na pitanje problema, sjetimo se da su koeficijenti varijabli u opštoj jednačini ravni koordinate vodećih vektora. Za navedene ravni imamo sljedeće koordinate njihovih normala:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Sada nalazimo skalarni proizvod ovih vektora i njihovih modula, imamo:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Sada možete zamijeniti pronađene brojeve u formulu datu u prethodnom paragrafu. Dobijamo:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Rezultirajuća vrijednost odgovara oštrom kutu presjeka ravnina navedenih u uvjetuzadaci.

Sada razmotrite još jedan primjer. S obzirom na dva aviona:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Da li se ukrštaju? Ispišimo vrijednosti koordinata njihovih vektora smjera, izračunajmo njihov skalarni proizvod i module:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Tada je ugao preseka:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Ovaj ugao označava da se ravni ne seku, već da su paralelne. Lako je provjeriti da se međusobno ne poklapaju. Uzmimo za ovo proizvoljnu tačku koja pripada prvoj od njih, na primjer, P(0; 3; 2). Zamijenimo njegove koordinate u drugu jednačinu, dobićemo:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

To jest, tačka P pripada samo prvoj ravni.

Dakle, dvije ravni su paralelne kada su njihove normale.

Ravan i prava linija

U slučaju razmatranja relativne pozicije između ravni i prave, postoji nekoliko opcija više nego kod dvije ravni. Ova činjenica je povezana sa činjenicom da je prava linija jednodimenzionalni objekat. Prava i ravan mogu biti:

međusobno paralelno, u ovom slučaju ravan ne siječe pravu;
potonji može pripadati ravni, ali će također biti paralelan s njom;
oba objekta moguseku pod nekim uglom.

Razmotrimo prvo zadnji slučaj, jer zahtijeva uvođenje koncepta ugla ukrštanja.

Prava i ravan, ugao između njih

Ako prava linija siječe ravan, onda se naziva nagnuta u odnosu na nju. Tačka presjeka naziva se osnova nagiba. Da bi se odredio ugao između ovih geometrijskih objekata, potrebno je spustiti pravu okomitu na ravan iz bilo koje tačke. Tada tačka preseka okomice sa ravninom i mesto preseka nagnute linije sa njom čine pravu liniju. Potonje se naziva projekcija originalne linije na ravninu koja se razmatra. Oštar ugao između linije i njene projekcije je traženi.

Donekle zbunjujuća definicija ugla između ravnine i kose razjasnit će sliku ispod.

Ovde je ugao ABO ugao između prave AB i ravni a.

Da biste zapisali formulu za to, razmotrite primjer. Neka postoje prava i ravan, koje su opisane jednadžbama:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Lako je izračunati željeni ugao za ove objekte ako pronađete skalarni proizvod između vektora smjera prave i ravni. Dobijeni oštar ugao treba oduzeti od 90o, onda se dobije između prave i ravni.

Slika iznad prikazuje opisani algoritam za pronalaženjerazmatrani ugao. Ovdje je β ugao između normale i prave, a α između prave i njene projekcije na ravan. Vidi se da je njihov zbir 90o.

Iznad je predstavljena formula koja odgovara na pitanje kako pronaći ugao između ravnina. Sada dajemo odgovarajući izraz za slučaj prave i ravni:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modul u formuli dozvoljava izračunavanje samo oštrih uglova. Funkcija arksinusa se pojavila umjesto arkkosinusa zbog upotrebe odgovarajuće formule redukcije između trigonometrijskih funkcija (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problem: Ravan seče pravu liniju

Pokažimo sada kako se radi s gornjom formulom. Rešimo problem: potrebno je izračunati ugao između y-ose i ravnine date jednadžbom:

y - z + 12=0

Ovaj avion je prikazan na slici.

Možete vidjeti da siječe y i z ose u tačkama (0; -12; 0) i (0; 0; 12), respektivno, i da je paralelna sa x osom.

Vektor pravca linije y ima koordinate (0; 1; 0). Vektor okomit na datu ravan karakteriziraju koordinate (0; 1; -1). Primijenimo formulu za ugao presjeka prave i ravni, dobijemo:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problem: prava linija paralelna sa ravninom

Sada odlučimosličan prethodnom problemu, čije se pitanje postavlja drugačije. Jednačine ravni i prave su poznate:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Neophodno je saznati da li su ovi geometrijski objekti međusobno paralelni.

Imamo dva vektora: pravac prave je (0; 2; 2) i pravac ravni je (1; 1; -1). Pronađite njihov tačkasti proizvod:

01 + 12 - 12=0

Rezultirajuća nula označava da je ugao između ovih vektora 90o, što dokazuje da su prava i ravan paralelne.

Sada provjerimo da li je ova prava samo paralelna ili također leži u ravni. Da biste to učinili, odaberite proizvoljnu tačku na liniji i provjerite pripada li ravnini. Na primjer, uzmimo λ=0, tada tačka P(1; 0; 0) pripada pravoj. Zamijenite u jednadžbu ravni P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Tačka P ne pripada ravni, što znači da ni cela prava ne leži u njoj.

Gdje je važno znati uglove između razmatranih geometrijskih objekata?

Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema nisu samo od teorijskog interesa. Često se koriste za određivanje važnih fizičkih veličina stvarnih trodimenzionalnih figura, kao što su prizme ili piramide. Važno je znati odrediti ugao između ravnina kada se računaju zapremine figura i površine njihovih površina. Štaviše, ako je u slučaju ravne prizme moguće ne koristiti ove formule za određivanjeodređene vrijednosti, onda je za bilo koju vrstu piramide njihova upotreba neizbježna.

U nastavku razmotrite primjer korištenja gornje teorije za određivanje uglova piramide s kvadratnom bazom.

Piramida i njeni uglovi

Na slici ispod prikazana je piramida, u čijoj osnovi leži kvadrat sa stranicom a. Visina figure je h. Treba pronaći dva ugla:

između bočne površine i baze;
između bočnog rebra i baze.

Da biste riješili problem, prvo morate unijeti koordinatni sistem i odrediti parametre odgovarajućih vrhova. Slika pokazuje da se ishodište koordinata poklapa sa tačkom u centru kvadratne osnove. U ovom slučaju, osnovna ravan je opisana jednadžbom:

z=0

To jest, za bilo koje x i y, vrijednost treće koordinate je uvijek nula. Bočna ravan ABC siječe z-osu u tački B(0; 0; h), a y-osu u tački sa koordinatama (0; a/2; 0). Ne prelazi x-osu. To znači da se jednačina ABC ravni može napisati kao: