Jedan od uobičajenih problema u stereometriji su zadaci ukrštanja pravih linija i ravni i izračunavanje uglova između njih. Razmotrimo u ovom članku detaljnije tzv. koordinatnu metodu i uglove između prave i ravni.
Prava i ravan u geometriji
Pre razmatranja metode koordinata i ugla između prave i ravni, trebalo bi da se upoznate sa imenovanim geometrijskim objektima.
Prava je takva kolekcija tačaka u prostoru ili na ravni, od kojih se svaka može dobiti linearnim prenošenjem prethodne na određeni vektor. U nastavku ćemo ovaj vektor označavati simbolom u¯. Ako se ovaj vektor pomnoži sa bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, onda ćemo dobiti vektor paralelan sa u¯. Linija je linearni beskonačan objekat.
Ravan je također skup tačaka koje se nalaze na takav način da ako od njih sastavite proizvoljne vektore, onda će sve one biti okomite na neki vektor n¯. Potonje se naziva normalnim ili jednostavno normalnim. Ravan je, za razliku od prave linije, dvodimenzionalni beskonačan objekat.
Koordinatna metoda za rješavanje geometrijskih problema
Na osnovu naziva same metode, možemo zaključiti da je riječ o metodi za rješavanje problema, koja se zasniva na izvođenju analitičkih sekvencijalnih proračuna. Drugim riječima, koordinatna metoda vam omogućava da rješavate geometrijske probleme koristeći univerzalne algebarske alate, od kojih su glavne jednačine.
Treba napomenuti da se metoda koja se razmatra pojavila u zoru moderne geometrije i algebre. Veliki doprinos njegovom razvoju dali su Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton i Leibniz u 17.-18. vijeku.
Suština metode je izračunavanje udaljenosti, uglova, površina i zapremina geometrijskih elemenata na osnovu koordinata poznatih tačaka. Imajte na umu da forma dobijenih konačnih jednačina zavisi od koordinatnog sistema. U problemima se najčešće koristi pravougaoni kartezijanski sistem, jer je s njim najpogodniji za rad.
Linija jednačina
Razmatranje metode koordinata i uglova između prave i ravni, počnimo sa postavljanjem jednačine prave. Postoji nekoliko načina za predstavljanje linija u algebarskom obliku. Ovdje razmatramo samo vektorsku jednačinu, jer se iz nje lako može dobiti u bilo kojem drugom obliku i sa njom je lako raditi.
Pretpostavimo da postoje dvije tačke: P i Q. Poznato je da se kroz njih može povući prava i toće biti jedini. Odgovarajući matematički prikaz elementa izgleda ovako:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Gdje je PQ¯ vektor čije se koordinate dobijaju na sljedeći način:
PQ¯=Q - P.
Simbol λ označava parametar koji može uzeti apsolutno bilo koji broj.
U pisanom izrazu možete promijeniti smjer vektora, kao i zamijeniti koordinate Q umjesto tačke P. Sve ove transformacije neće dovesti do promjene geometrijske lokacije prave.
Imajte na umu da je prilikom rješavanja problema ponekad potrebno predstaviti napisanu vektorsku jednačinu u eksplicitnom (parametarskom) obliku.
Postavljanje aviona u svemir
Kao i za pravu liniju, postoji i nekoliko oblika matematičkih jednačina za ravan. Među njima izdvajamo vektor, jednadžbu u segmentima i opšti oblik. U ovom članku ćemo posebnu pažnju obratiti na posljednji obrazac.
Opća jednačina za proizvoljnu ravan može se napisati na sljedeći način:
Ax + By + Cz + D=0.
Latinska velika slova su određeni brojevi koji definiraju ravan.
Pogodnost ove notacije je da eksplicitno sadrži vektor normalan na ravan. Jednako je:
n¯=(A, B, C).
Poznavanje ovog vektora omogućava, kratkim osvrtom na jednadžbu ravnine, da zamislimo lokaciju ove potonje u koordinatnom sistemu.
Uzajamni dogovor uprostor linije i ravni
U sljedećem pasusu članka preći ćemo na razmatranje metode koordinata i ugla između prave i ravni. Ovdje ćemo odgovoriti na pitanje kako se razmatrani geometrijski elementi mogu locirati u prostoru. Postoje tri načina:
- Prava linija seče ravan. Koristeći koordinatnu metodu, možete izračunati u kojoj se tački seku prava i ravan.
- Ravan prave linije je paralelna. U ovom slučaju sistem jednačina geometrijskih elemenata nema rješenja. Da bi se dokazao paralelizam, obično se koristi svojstvo skalarnog proizvoda vektora usmjeravanja prave i normale ravnine.
- Avion sadrži liniju. Rješavajući sistem jednadžbi u ovom slučaju, doći ćemo do zaključka da se za bilo koju vrijednost parametra λ dobija tačna jednakost.
U drugom i trećem slučaju, ugao između navedenih geometrijskih objekata jednak je nuli. U prvom slučaju, nalazi se između 0 i 90o.
Izračunavanje uglova između pravih i ravni
Sada idemo direktno na temu članka. Svaki presek prave i ravni se dešava pod nekim uglom. Ovaj ugao formira sama prava linija i njena projekcija na ravan. Projekcija se može dobiti ako se iz bilo koje tačke prave spusti okomica na ravan, a zatim kroz dobijenu tačku preseka ravnine i okomice i tačku preseka ravnine i prvobitne prave povuče prava linija koja će biti projekcija.
Izračunavanje uglova između linija i ravni nije težak zadatak. Da biste ga riješili, dovoljno je poznavati jednačine odgovarajućih geometrijskih objekata. Recimo da ove jednadžbe izgledaju ovako:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Željeni ugao se lako pronalazi korišćenjem svojstva proizvoda skalarnih vektora u¯ i n¯. Konačna formula izgleda ovako:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Ova formula kaže da je sinus ugla između prave i ravni jednak omjeru modula skalarnog proizvoda označenih vektora i proizvoda njihovih dužina. Da bismo razumjeli zašto se umjesto kosinusa pojavio sinus, okrenimo se slici ispod.
Može se vidjeti da ako primijenimo kosinusnu funkciju, dobićemo ugao između vektora u¯ i n¯. Željeni ugao θ (α na slici) dobija se na sledeći način:
θ=90o- β.
Sinus se pojavljuje kao rezultat primjene formule redukcije.
Primjer problema
Pređimo na praktičnu upotrebu stečenog znanja. Rešimo tipičan problem o uglu između prave i ravni. Date su sljedeće koordinate četiri tačke:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Poznato je da kroz tačke PQMkroz njega prolazi ravan, a kroz MN prava linija. Koristeći koordinatnu metodu, mora se izračunati ugao između ravnine i prave.
Prvo, zapišimo jednačine prave i ravni. Za ravnu liniju, lako je sastaviti:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Da bismo napravili jednačinu ravni, prvo ćemo pronaći normalu na nju. Njegove koordinate su jednake vektorskom proizvodu dva vektora koji leže u datoj ravni. Imamo:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Sada zamenimo koordinate bilo koje tačke koja leži u njoj u jednadžbu opšte ravni da dobijemo vrednost slobodnog člana D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Ravninska jednačina je:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Ostaje primijeniti formulu za ugao nastao na sjecištu prave i ravni da dobijemo odgovor na problem. Imamo:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Koristeći ovaj problem kao primjer, pokazali smo kako koristiti koordinatnu metodu za rješavanje geometrijskih problema.
