U geometriji, nakon tačke, prava linija je možda najjednostavniji element. Koristi se u konstrukciji bilo kakvih složenih figura na ravni i u trodimenzionalnom prostoru. U ovom članku ćemo razmotriti opću jednadžbu prave linije i pomoću nje riješiti nekoliko problema. Počnimo!
Prava linija u geometriji
Svi znaju da se oblici kao što su pravougaonik, trougao, prizma, kocka i tako dalje formiraju presecanjem pravih linija. Prava linija u geometriji je jednodimenzionalni objekt koji se može dobiti prenošenjem određene tačke na vektor istog ili suprotnog smjera. Da biste bolje razumjeli ovu definiciju, zamislite da postoji neka tačka P u prostoru. Uzmite proizvoljan vektor u¯ u ovom prostoru. Tada se bilo koja tačka Q prave može dobiti kao rezultat sljedećih matematičkih operacija:
Q=P + λu¯.
Ovdje λ je proizvoljan broj koji može biti pozitivan ili negativan. Ako je jednakostnapišite gore u smislu koordinata, tada dobijamo sljedeću jednačinu prave:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ova jednakost se naziva jednačina prave linije u vektorskom obliku. A vektor u¯ se zove vodič.
Opšta jednačina prave linije u ravni
Svaki student može to zapisati bez ikakvih poteškoća. Ali najčešće se jednačina piše ovako:
y=kx + b.
Gdje su k i b proizvoljni brojevi. Broj b se naziva slobodnim članom. Parametar k je jednak tangenti ugla formiranog presekom prave linije sa x-osom.
Gorenja jednačina je izražena u odnosu na varijablu y. Ako ga predstavimo u opštijem obliku, onda ćemo dobiti sljedeću notaciju:
Ax + By + C=0.
Lako je pokazati da se ovaj oblik pisanja opšte jednačine prave na ravni lako transformiše u prethodni oblik. Da biste to učinili, lijevi i desni dio treba podijeliti sa faktorom B i izraziti y.
Slika iznad prikazuje pravu liniju koja prolazi kroz dvije tačke.
Linija u 3D prostoru
Nastavimo naše učenje. Razmatrali smo pitanje kako je jednačina prave u opštem obliku data na ravni. Ako primijenimo oznaku datu u prethodnom pasusu članka za prostorni slučaj, šta ćemo dobiti? Sve je jednostavno - više nije prava linija, već ravan. Zaista, sljedeći izraz opisuje ravan koja je paralelna sa z-osom:
Ax + By + C=0.
Ako je C=0, tada takva ravan prolazikroz z-osu. Ovo je važna karakteristika.
Kako onda biti sa opštom jednačinom prave u prostoru? Da biste razumjeli kako to pitati, morate se nečega sjetiti. Dvije ravni se seku duž određene prave linije. Šta to znači? Samo da je opšta jednačina rezultat rešavanja sistema od dve jednačine za ravni. Napišimo ovaj sistem:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ovaj sistem je opšta jednačina prave linije u prostoru. Imajte na umu da ravni ne smiju biti paralelne jedna s drugom, odnosno njihovi normalni vektori moraju biti nagnuti pod nekim uglom jedan prema drugom. U suprotnom, sistem neće imati rješenja.
Iznad smo dali vektorski oblik jednačine za pravu liniju. Pogodan je za korištenje prilikom rješavanja ovog sistema. Da biste to učinili, prvo morate pronaći vektorski proizvod normala ovih ravnina. Rezultat ove operacije će biti vektor smjera prave linije. Zatim treba izračunati bilo koju tačku koja pripada pravoj. Da biste to uradili, potrebno je bilo koju od varijabli postaviti jednaku određenoj vrijednosti, dvije preostale varijable se mogu pronaći rješavanjem redukovanog sistema.
Kako prevesti vektorsku jednačinu u opštu? Nijanse
Ovo je stvarni problem koji može nastati ako trebate napisati opštu jednačinu prave koristeći poznate koordinate dvije tačke. Pokažimo kako se ovaj problem rješava na primjeru. Neka su koordinate dvije tačke poznate:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Jednačinu u vektorskom obliku je prilično lako sastaviti. Vektorske koordinate smjera su:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Imajte na umu da nema razlike ako oduzmemo Q koordinate od koordinata tačke P, vektor će samo promijeniti svoj smjer u suprotno. Sada biste trebali uzeti bilo koju tačku i zapisati vektorsku jednačinu:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Da bi se napisala opšta jednačina prave linije, parametar λ treba izraziti u oba slučaja. I onda uporedite rezultate. Imamo:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Ostaje samo otvoriti zagrade i prenijeti sve članove jednačine na jednu stranu jednačine kako bi se dobio opći izraz za pravu liniju koja prolazi kroz dvije poznate tačke.
U slučaju trodimenzionalnog problema, algoritam rješenja je sačuvan, samo će njegov rezultat biti sistem od dvije jednačine za ravni.
Zadatak
Potrebno je napraviti opštu jednačinuprava linija koja siječe x-osu na (-3, 0) i paralelna je sa y-osom.
Počnimo rješavati problem pisanjem jednačine u vektorskom obliku. Pošto je prava paralelna y-osi, tada će vektor usmjeravanja za nju biti sljedeći:
u¯=(0, 1).
Tada će željeni red biti napisan na sljedeći način:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Sada prevedemo ovaj izraz u opšti oblik, za ovo izražavamo parametar λ:
- x=-3;
- y=λ.
Dakle, bilo koja vrijednost varijable y pripada redu, međutim, samo jedna vrijednost varijable x joj odgovara. Stoga će opća jednadžba imati oblik:
x + 3=0.
Problem sa ravnom linijom u prostoru
Poznato je da su dvije ravni koje se seku date sljedećim jednačinama:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Potrebno je pronaći vektorsku jednačinu prave linije duž koje se ove ravnine seku. Počnimo.
Kao što je rečeno, opšta jednačina prave linije u trodimenzionalnom prostoru je već data u obliku sistema dvojke sa tri nepoznanice. Prije svega, odredimo vektor smjera duž kojeg se ravnine sijeku. Množenjem vektorskih koordinata normala na ravni dobijamo:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Pošto množenje vektora negativnim brojem obrće njegov smjer, možemo napisati:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Zada bi se pronašao vektorski izraz za pravu liniju, pored vektora pravca, treba znati i neku tačku ove prave. Naći pošto njegove koordinate moraju zadovoljiti sistem jednačina u uslovu problema, onda ćemo ih pronaći. Na primjer, stavimo x=0, onda dobijamo:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Dakle, tačka koja pripada željenoj pravoj liniji ima koordinate:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Tada dobijemo odgovor na ovaj problem, vektorska jednadžba željene linije će izgledati ovako:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Ispravnost rješenja može se lako provjeriti. Da biste to uradili, potrebno je da izaberete proizvoljnu vrednost parametra λ i da dobijene koordinate tačke prave linije zamenite u obe jednačine za ravni, dobićete identitet u oba slučaja.
