U prostoru, ravan se može definisati na različite načine (jedna tačka i vektor, dve tačke i vektor, tri tačke, itd.). Imajući to na umu da jednačina ravni može imati različite oblike. Takođe, pod određenim uslovima, ravni mogu biti paralelne, okomite, ukrštane, itd. O tome ćemo govoriti u ovom članku. Naučit ćemo kako napisati opštu jednačinu ravnine i ne samo.
Normalna jednačina
Recimo da postoji prostor R3 koji ima pravougaoni XYZ koordinatni sistem. Postavimo vektor α, koji će biti oslobođen iz početne tačke O. Kroz kraj vektora α nacrtaćemo ravan P, koja će biti okomita na nju.
Označite sa P proizvoljnu tačku Q=(x, y, z). Radijus vektor tačke Q označićemo slovom p. U ovom slučaju, dužina vektora α je p=IαI i Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).
Ovo je jedinični vektor koji pokazuje bočno, baš kaovektor α. α, β i γ su uglovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih pravaca prostornih osa x, y, z, redom. Projekcija neke tačke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost jednaka r: (r, Ʋ)=r(r≧0).
Gorenja jednačina ima smisla kada je p=0. Jedina stvar je da će ravan P u ovom slučaju preseći tačku O (α=0), koja je ishodište, a jedinični vektor Ʋ, oslobođen iz tačke O, biće okomit na P, bez obzira na njegov pravac, što znači da je vektor Ʋ određen sa znakom tačno. Prethodna jednačina je jednačina naše P ravni, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama će izgledati ovako:
R ovdje je veće ili jednako 0. Pronašli smo jednadžbu ravnine u prostoru u normalnom obliku.
Opšta jednadžba
Ako pomnožimo jednačinu u koordinatama bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobićemo jednačinu ekvivalentnu datoj, koja definira istu ravan. To će izgledati ovako:
Ovde su A, B, C brojevi koji se u isto vreme razlikuju od nule. Ova jednačina se naziva opštom ravninskom jednadžbom.
Jednačine ravni. Posebni slučajevi
Jednačina u opštem obliku može se modifikovati u prisustvu dodatnih uslova. Pogledajmo neke od njih.
Pretpostavimo da je koeficijent A jednak 0. To znači da je data ravan paralelna datoj osi Ox. U ovom slučaju, oblik jednačine će se promijeniti: Vu+Cz+D=0.
Slično, oblik jednačine će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:
- Prvo, ako je B=0, tada će se jednačina promijeniti u Ax+Cz+D=0, što će ukazati na paralelizam sa Oy osom.
- Drugo, ako je S=0, tada će jednačina biti transformirana u Ah+Vu+D=0, što će ukazati na paralelizam sa datom osom Oz.
- Treće, ako je D=0, jednačina će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što znači da ravan seče O (početak).
- Četvrto, ako je A=B=0, tada će se jednačina promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim sa Oxy.
- Peto, ako je B=C=0, tada jednačina postaje Ax+D=0, što znači da je ravan na Oyz paralelna.
- Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba poprimiti oblik Vu+D=0, odnosno prijavit će paralelizam na Oxz.
Prikaz jednačine u segmentima
U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednačine (0) može biti sljedeći:
x/a + y/b + z/c=1, gdje je a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
Kao rezultat, dobijamo jednačinu ravnine u segmentima. Vrijedi napomenuti da će ova ravan presjeći osu Ox u tački sa koordinatama (a, 0, 0), Oy - (0, b, 0) i Oz - (0, 0, c).
Uzimajući u obzir jednačinu x/a + y/b + z/c=1, lako je vizualizirati položaj ravni u odnosu na dati koordinatni sistem.
Koordinate normalnog vektora
Normalni vektor n na ravan P ima koordinate koje su koeficijenti opšte jednadžbe ove ravni, odnosno n(A, B, C).
Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je znati opštu jednačinu date ravni.
Kada se koristi jednačina u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c=1, kao i kada se koristi opšta jednačina, možete napisati koordinate bilo kog vektora normale a data ravan: (1/a + 1 /b + 1/c).
Vrijedi napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su zadaci koji se sastoje u dokazivanju okomitosti ili paralelnosti ravni, problemi u pronalaženju uglova između ravni ili uglova između ravnina i pravih.
Pregled jednačine ravnine prema koordinatama tačke i vektora normale
Vektor različit od nule n okomit na datu ravan naziva se normalnim (normalnim) za datu ravan.
Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravougaoni koordinatni sistem) Oxyz dati:
- tačka Mₒ sa koordinatama (xₒ, yₒ, zₒ);
- nulti vektor n=Ai+Bj+Ck.
Morate napraviti jednačinu za ravan koja će proći kroz tačku Mₒ okomito na normalu n.
U prostoru biramo bilo koju proizvoljnu tačku i označavamo je sa M (x y, z). Neka je vektor radijusa bilo koje tačke M (x, y, z) r=xi+yj+zk, a vektor radijusa tačke Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) rₒ=xₒ i+yₒ j+zₒk. Tačka M pripadaće datoj ravni ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Zapisujemo uslov ortogonalnosti koristeći skalarni proizvod:
[MₒM, n]=0.
Budući da je MₒM=r–rₒ, vektorska jednačina ravni će izgledati ovako:
[r – rₒ, n]=0.
Ova jednačina može imati drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog proizvoda, a lijeva strana jednadžbe se transformira. [r - rₒ, n]=[r, n] - [rₒ, n]. Ako se [rₒ, n] označi kao c, tada će se dobiti sljedeća jednačina: [r, n] - c=0 ili [r, n]=c, koja izražava konstantnost projekcija na normalni vektor radijus vektori datih tačaka koje pripadaju ravni.
Sada možemo dobiti koordinatni oblik vektorske jednadžbe naše ravni [r – rₒ, n]=0. Pošto je r–rₒ=(x–xₒ)i + (y–yₒ)j + (z–zₒ)k, i n=Ai+Bj+Ck, imamo:
Ispostavilo se da imamo jednadžbu za ravan koja prolazi kroz tačku okomitu na normalu n:
A(x- xₒ)+B(y-yₒ)C(z-zₒ)=0.
Pregled jednačine ravnine prema koordinatama dvije tačke i vektora kolinearnog ravni
Postavimo dvije proizvoljne tačke M' (x', y', z') i M″ (x″, y″, z″), kao i vektor a (a', a″, a ‴).
Sada možemo formulisati jednačinu za datu ravan koja će proći kroz dostupne tačke M' i M″, kao i bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y, z) paralelnim datom vektoru a.
Vektori M'M={x-x';y-y';z-z'} i M″M={x″-x';y″-y';z″-z ' } mora biti komplanaran sa vektorom a=(a', a″, a‴), što znači da (M'M, M″M, a)=0.
Dakle, naša jednadžba ravni u prostoru će izgledati ovako:
Pregled jednačine ravnine koja seče tri tačke
Pretpostavimo da imamo tri tačke: (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴), koje ne pripadaju isto pravo. Potrebno je napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz date tri tačke. Teorija geometrije tvrdi da ovakva ravan zaista postoji, samo što je jedina i neponovljiva. Pošto ova ravan siječe tačku (x', y', z'), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:
Ovdje se A, B, C razlikuju od nule u isto vrijeme. Takođe, data ravan seče još dve tačke: (x″, y″, z″) i (x‴, y‴, z‴). S tim u vezi, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:
Sada možemo sastaviti homogeni sistem jednačina (linearni) sa nepoznanicama u, v, w:
U našem slučaju, x, y ili z je proizvoljna tačka koja zadovoljava jednačinu (1). Uzimajući u obzir jednačinu (1) i sistem jednačina (2) i (3), sistem jednačina prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A, B, C), koji nije trivijalan. Zato je determinanta ovog sistema jednaka nuli.
Jednačina (1), koju smo dobili, ovo je jednačina ravnine. Prolazi tačno kroz 3 tačke i to je lako provjeriti. Za ovo vam je potrebnoproširimo našu determinantu preko elemenata u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizilazi da naša ravan istovremeno siječe tri početno date tačke (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴). Odnosno, riješili smo zadatak koji je pred nama.
Dihedralni ugao između ravni
Diedarski ugao je prostorna geometrijska figura formirana od dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije. Drugim riječima, ovo je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.
Recimo da imamo dvije ravni sa sljedećim jednadžbama:
Znamo da su vektori N=(A, B, C) i N¹=(A¹, B¹, C¹) okomiti prema datim ravnima. U tom smislu, ugao φ između vektora N i N¹ jednak je uglu (diedralu), koji se nalazi između ovih ravni. Skalarni proizvod ima oblik:
NN¹=|N||N¹|cos φ, samo zato
cosφ=NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹))²))
Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≦φ≦π.
Zapravo, dvije ravni koje se seku formiraju dva (diedralna) ugla: φ1 i φ2. Njihov zbir je jednak π (φ1+ φ2=π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju po predznacima, odnosno cosφ1=-cos φ2. Ako u jednačini (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B i -C, redom, tada će jednačina koju dobijemo odrediti istu ravan, jedini ugao φ u jednačini cos φ=NN1/|N||N1| bit će zamijenjen sa π-φ.
Jednačina okomite ravni
Perpendikularne se nazivaju ravni između kojih je ugao 90 stepeni. Koristeći gore opisani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine koja je okomita na drugu. Recimo da imamo dvije ravni: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će oni biti okomiti ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Jednačina paralelne ravni
Paralelne su dvije ravni koje ne sadrže zajedničke tačke.
Uslov paralelizma ravni (njihove jednačine su iste kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, kolinearni. To znači da su ispunjeni sljedeći uvjeti proporcionalnosti:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Ako su uslovi proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹, ovo ukazuje da su ovi avioni isti. To znači da jednačine Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravan.
Udaljenost do aviona od tačke
Recimo da imamo ravan P, koja je data jednačinom (0). Moramo pronaći udaljenost do nje od tačkesa koordinatama (xₒ, yₒ, zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, trebate dovesti jednačinu P ravni u normalan oblik:
(ρ, v)=p (p≧0).
U ovom slučaju, ρ (x, y, z) je vektor radijusa naše tačke Q, koja se nalazi na P, p je dužina okomice P koja je oslobođena od nulte tačke, v je jedinični vektor, koji se nalazi prema a.
Razlika ρ-ρº vektora radijusa neke tačke Q=(x, y, z) koja pripada P, kao i vektor radijusa date tačke Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) je takav vektor čija je apsolutna vrijednost projekcije na v jednaka udaljenosti d, koja se mora naći iz Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) u P:
D=|(ρ-ρ0, v)|, ali
(ρ-ρ0, v)=(ρ, v)–(ρ0, v)=r–(ρ0, v).
Tako ispada, d=|(ρ0, v)-p|.
Sada je jasno da za izračunavanje udaljenosti d od Q0 do ravni P, morate koristiti normalni oblik jednačine ravnine, dok pomeranje p na lijevu stranu, a na posljednju umjesto x, y, z zamjena (xₒ, yₒ, zₒ).
Tako ćemo pronaći apsolutnu vrijednost rezultirajućeg izraza, odnosno željeni d.
Koristeći jezik parametara, dobijamo očigledno:
d=|Axₒ+Byₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Ako je data tačka Q0 na drugoj strani P ravni, kao i ishodište, onda između vektora ρ-ρ0 i v je tup ugao, dakle:
d=-(ρ-ρ0, v)=(ρ0, v)-p>0.
U slučaju kada se tačka Q0 zajedno sa ishodištem nalazi na istoj strani od P, tada je kreirani ugao oštar, odnosno:
d=(ρ-ρ0, v)=r - (ρ0, v)>0.
Kao rezultat, ispada da je u prvom slučaju (ρ0, v)>r, u drugom slučaju (ρ0, v)<r.
Tangentna ravan i njena jednadžba
Ravan tangente na površinu u tački tangente Mº je ravan koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu tačku na površini.
Sa ovim oblikom jednačine površine F(x, y, z)=0, jednačina tangentne ravni u tački tangente Mº(xº, yº, zº) će izgledati ovako:
Fx(xº, yº, zº)(x- xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº) + Fh(hº, yº, zº)(z-zº)=0.
Ako eksplicitno specificirate površinu z=f (x, y), tada će tangentna ravan biti opisana jednadžbom:
z-zº=f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Presjek dvije ravni
U trodimenzionalnom prostoru nalazi se koordinatni sistem (pravougaoni) Oxyz, date su dve ravni P' i P″ koje se seku i ne poklapaju. Pošto je bilo koja ravan koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu određena opštom jednačinom, pretpostavićemo da su P' i P″ dati jednadžbama A'x+B'y+C'z+D'=0 i A″x +B″y+ S″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n '(A', B', C') P' ravni i normalu n ″ (A ″, B ″, C ″) P ″ ravni. Pošto naše ravni nisu paralelne i ne poklapaju se, ovevektori nisu kolinearni. Koristeći jezik matematike, ovaj uslov možemo napisati na sljedeći način: n'≠ n″ ↔ (A', B', C') ≠ (λA″, λB″, λC″), λϵR. Neka pravac koji leži na presjeku P' i P″ bude označen slovom a, u ovom slučaju a=P' ∩ P″.
a je prava linija koja se sastoji od skupa svih tačaka (zajedničkih) ravni P' i P″. To znači da koordinate bilo koje tačke koja pripada pravoj a moraju istovremeno zadovoljiti jednačine A'x+B'y+C'z+D'=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0. To znači da će koordinate tačke biti posebno rješenje sljedećeg sistema jednačina:
Kao rezultat, ispada da će (opće) rješenje ovog sistema jednadžbi odrediti koordinate svake od tačaka prave linije, koje će djelovati kao presječna tačka P' i P″, i odredi pravu liniju a u koordinatnom sistemu Oxyz (pravougaonog) u prostoru.
