Jedan od aksioma geometrije kaže da je kroz bilo koje dvije tačke moguće povući jednu pravu liniju. Ovaj aksiom svjedoči da postoji jedinstveni numerički izraz koji na jedinstven način opisuje navedeni jednodimenzionalni geometrijski objekt. Razmotrite u članku pitanje kako napisati jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije tačke.
Šta su tačka i prava?
Pre razmatranja pitanja konstruisanja u prostoru i na ravni ravne jednačine koja prolazi kroz par različitih tačaka, treba definisati određene geometrijske objekte.
Tačka je jedinstveno određena skupom koordinata u datom sistemu koordinatnih osa. Pored njih, nema više karakteristika za bod. Ona je objekat nulte dimenzije.
Kada govorimo o pravoj liniji, svaka osoba zamišlja liniju prikazanu na bijelom listu papira. Istovremeno, moguće je dati tačnu geometrijsku definicijuovaj objekat. Prava linija je takva zbirka tačaka za koju će veza svake od njih sa svim ostalima dati skup paralelnih vektora.
Ova definicija se koristi kada se postavlja vektorska jednadžba prave linije, o čemu će biti riječi u nastavku.
Pošto se svaka linija može označiti segmentom proizvoljne dužine, kaže se da je jednodimenzionalni geometrijski objekt.
Vektorska funkcija broja
Jednačina kroz dvije tačke prolazne prave linije može se napisati u različitim oblicima. U trodimenzionalnim i dvodimenzionalnim prostorima, glavni i intuitivno razumljiv numerički izraz je vektor.
Pretpostavimo da postoji neki usmjereni segment u¯(a; b; c). U 3D prostoru, vektor u¯ može početi u bilo kojoj tački, tako da njegove koordinate definiraju beskonačan skup paralelnih vektora. Međutim, ako odaberemo određenu tačku P(x0; y0; z0) i stavimo kao početak vektora u¯, onda, množenjem ovog vektora sa proizvoljnim realnim brojem λ, mogu se dobiti sve tačke jedne prave linije u prostoru. To jest, vektorska jednačina će biti napisana kao:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Očigledno, za slučaj na ravni, numerička funkcija ima oblik:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Prednost ove vrste jednadžbi u odnosu na ostale (u segmentima, kanonski,opšti oblik) leži u činjenici da eksplicitno sadrži koordinate vektora pravca. Potonje se često koristi za određivanje jesu li prave paralelne ili okomite.
Općenito u segmentima i kanonska funkcija za pravu liniju u dvodimenzionalnom prostoru
Kada rješavate probleme, ponekad morate napisati jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije tačke u određenom, specifičnom obliku. Stoga treba dati druge načine specificiranja ovog geometrijskog objekta u dvodimenzionalnom prostoru (radi jednostavnosti, razmatramo slučaj na ravni).
Počnimo sa opštom jednadžbom. Ima oblik:
Ax + By + C=0
U pravilu se na ravni jednačina prave ispisuje u ovom obliku, samo je y eksplicitno definirano kroz x.
Sada transformirajte gornji izraz na sljedeći način:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Ovaj izraz se naziva jednadžba u segmentima, pošto nazivnik za svaku varijablu pokazuje koliko dugo segment linije odsijeca na odgovarajućoj koordinatnoj osi u odnosu na početnu tačku (0; 0).
Ostaje dati primjer kanonske jednadžbe. Da bismo to učinili, pišemo vektorsku jednakost eksplicitno:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Izrazimo parametar λ odavde i izjednačimo rezultirajuće jednakosti:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Posljednja jednakost naziva se jednadžba u kanonskom ili simetričnom obliku.
Svaki od njih se može konvertovati u vektor i obrnuto.
Jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije tačke: tehnika kompilacije
Nazad na pitanje članka. Pretpostavimo da postoje dvije tačke u prostoru:
M(x1; y1; z1) i N(x 2; y2; z2)
Jedina prava linija prolazi kroz njih, čiju je jednačinu vrlo lako sastaviti u vektorskom obliku. Da bismo to učinili, izračunavamo koordinate usmjerenog segmenta MN¯, imamo:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nije teško pretpostaviti da će ovaj vektor biti vodič za pravu liniju, čija jednačina se mora dobiti. Znajući da također prolazi kroz M i N, možete koristiti koordinate bilo koje od njih za vektorski izraz. Tada željena jednačina poprima oblik:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Za slučaj u dvodimenzionalnom prostoru, dobijamo sličnu jednakost bez učešća varijable z.
Čim se vektorska jednakost za liniju napiše, može se prevesti u bilo koji drugi oblik koji zahtijeva pitanje problema.
Zadatak:napiši opštu jednačinu
Poznato je da prava prolazi kroz tačke sa koordinatama (-1; 4) i (3; 2). Potrebno je sastaviti jednačinu prave linije koja prolazi kroz njih, u opštem obliku, izražavajući y u terminima x.
Da bismo riješili problem, prvo napišemo jednačinu u vektorskom obliku. Koordinate vektora (vodiča) su:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Tada je vektorski oblik jednačine prave linije sljedeći:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Ostaje da to napišemo u opštem obliku u obliku y(x). Prepisujemo ovu jednakost eksplicitno, izražavamo parametar λ i isključujemo ga iz jednačine:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Iz rezultirajuće kanonske jednačine izražavamo y i dolazimo do odgovora na pitanje zadatka:
y=-0,5x + 3,5
Valjanost ove jednakosti može se provjeriti zamjenom koordinata tačaka navedenih u iskazu problema.
Problem: prava linija koja prolazi kroz centar segmenta
Sada riješimo jedan zanimljiv problem. Pretpostavimo da su date dvije tačke M(2; 1) i N(5; 0). Poznato je da prava linija prolazi središtem segmenta koji spaja tačke i okomita je na nju. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi sredinom segmenta u vektorskom obliku.
Željeni numerički izraz se može formirati izračunavanjem koordinata ovog centra i određivanjem vektora pravca, kojisegment čini ugao 90o.
Sredina segmenta je:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Sada izračunajmo koordinate vektora MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Pošto je vektor smjera za željenu liniju okomit na MN¯, njihov skalarni proizvod je jednak nuli. Ovo vam omogućava da izračunate nepoznate koordinate (a; b) vektora upravljanja:
a3 - b=0=>
b=3a
Sada napišite vektorsku jednačinu:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Ovdje smo zamijenili proizvod aλ sa novim parametrom β.
Tako smo napravili jednačinu prave linije koja prolazi kroz centar segmenta.
