Matematika nije dosadna nauka, kako se ponekad čini. Ima mnogo zanimljivog, iako ponekad neshvatljivog za one koji ga ne žele razumjeti. Danas ćemo govoriti o jednoj od najčešćih i najjednostavnijih tema u matematici, odnosno njenoj oblasti koja je na granici algebre i geometrije. Razgovarajmo o linijama i njihovim jednačinama. Čini se da je ovo dosadna školska tema koja ne obećava ništa zanimljivo i novo. Međutim, to nije slučaj i u ovom članku ćemo vam pokušati dokazati svoje gledište. Prije nego što pređemo na najzanimljivije i opišemo jednadžbu prave kroz dvije tačke, osvrnut ćemo se na povijest svih ovih mjerenja, a zatim saznati zašto je sve to bilo potrebno i zašto sada poznavanje sljedećih formula neće bilo boli.
Historija
Čak iu stara vremena, matematičari su voleli geometrijske konstrukcije i sve vrste grafova. Teško je danas reći ko je prvi došao do jednačine prave kroz dvije tačke. Ali može se pretpostaviti da je ova osoba bila Euklid -starogrčki naučnik i filozof. On je u svojoj raspravi "Počeci" dao osnovu za buduću euklidsku geometriju. Sada se ovaj dio matematike smatra osnovom geometrijskog prikaza svijeta i predaje se u školi. Ali vrijedi reći da euklidska geometrija djeluje samo na makro nivou u našoj trodimenzionalnoj dimenziji. Ako posmatramo prostor, onda nije uvijek moguće uz pomoć njega zamisliti sve pojave koje se tamo dešavaju.
Posle Euklida bili su drugi naučnici. I usavršili su i shvatili ono što je otkrio i napisao. Na kraju se pokazalo stabilno područje geometrije, u kojem sve i dalje ostaje nepokolebljivo. I hiljadama godina je dokazano da je jednadžbu prave kroz dvije tačke vrlo lako i jednostavno sastaviti. Ali prije nego što počnemo objašnjavati kako to učiniti, hajde da prodiskutujemo o nekoj teoriji.
Teorija
Prava linija je segment beskonačan u oba smjera, koji se može podijeliti na beskonačan broj segmenata bilo koje dužine. Za predstavljanje prave linije najčešće se koriste grafovi. Štaviše, grafovi mogu biti u dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim koordinatnim sistemima. I grade se prema koordinatama tačaka koje im pripadaju. Na kraju krajeva, ako uzmemo u obzir pravu liniju, možemo vidjeti da se ona sastoji od beskonačnog broja tačaka.
Međutim, postoji nešto u čemu se prava linija veoma razlikuje od drugih vrsta linija. Ovo je njena jednadžba. Uopšteno govoreći, to je vrlo jednostavno, za razliku od, recimo, jednačine kruga. Svakako, svako od nas je to prošao u školi. Aliipak, zapišimo njen opći oblik: y=kx+b. U sljedećem dijelu ćemo detaljno analizirati šta svako od ovih slova znači i kako riješiti ovu jednostavnu jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije tačke.
Linija jednačina
Jednakost koja je gore predstavljena je jednačina prave linije koja nam je potrebna. Vrijedi objasniti na šta se ovdje misli. Kao što možete pretpostaviti, y i x su koordinate svake tačke na liniji. Općenito, ova jednačina postoji samo zato što svaka tačka bilo koje prave linije teži da bude u vezi s drugim tačkama, pa stoga postoji zakon koji povezuje jednu koordinatu s drugom. Ovaj zakon određuje kako izgleda jednačina prave linije kroz dvije date tačke.
Zašto baš dvije tačke? Sve je to zato što je minimalni broj tačaka potrebnih za konstruiranje prave linije u dvodimenzionalnom prostoru dvije. Ako uzmemo trodimenzionalni prostor, tada će broj tačaka potrebnih za konstruiranje jedne prave linije također biti jednak dvije, pošto tri tačke već čine ravan.
Postoji i teorema koja dokazuje da je moguće povući jednu pravu liniju kroz bilo koje dvije tačke. Ova činjenica se može provjeriti u praksi spajanjem dvije nasumične tačke na grafikonu pomoću lenjira.
Sada pogledajmo konkretan primjer i pokažemo kako riješiti ovu ozloglašenu jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke.
Primjer
Razmotrite dva poenakoji vam je potreban da biste izgradili pravu liniju. Postavimo njihove koordinate, na primjer, M1(2;1) i M2(3;2). Kao što znamo iz školskog predmeta, prva koordinata je vrijednost duž ose OX, a druga je vrijednost duž ose OY. Iznad je data jednačina prave kroz dvije tačke, a da bismo saznali parametre k i b koji nedostaju potrebno je sastaviti sistem od dvije jednačine. U stvari, bit će sastavljena od dvije jednadžbe, od kojih će svaka sadržavati naše dvije nepoznate konstante:
1=2k+b
2=3k+b
Sada ostaje najvažnije: riješiti ovaj sistem. Ovo se radi prilično jednostavno. Prvo, izrazimo b iz prve jednačine: b=1-2k. Sada trebamo zamijeniti rezultirajuću jednakost u drugu jednačinu. Ovo se radi tako što se b zamijeni jednakošću koju smo dobili:
2=3k+1-2k
1=k;
Sada kada znamo koja je vrijednost koeficijenta k, vrijeme je da saznamo vrijednost sljedeće konstante - b. Ovo je još lakše. Pošto znamo zavisnost b od k, možemo zamijeniti vrijednost potonjeg u prvu jednačinu i saznati nepoznatu vrijednost:
b=1-21=-1.
Poznavajući oba koeficijenta, sada ih možemo zamijeniti u originalnu opštu jednačinu prave linije kroz dvije tačke. Tako, za naš primjer, dobijamo sljedeću jednačinu: y=x-1. Ovo je željena jednakost, koju smo morali dobiti.
Prije nego pređemo na zaključak, razgovarajmo o primjeni ovog dijela matematike u svakodnevnom životu.
Prijava
Kao takva, jednačina prave linije kroz dvije tačke nema primjenu. Ali to ne znači da nam ne treba. U fizici i matematicivrlo se aktivno koriste jednadžbe linija i svojstva koja iz njih slijede. Možda to niste ni primijetili, ali matematika je svuda oko nas. Pa čak i takve naizgled neupadljive teme kao što je jednačina prave linije kroz dvije tačke pokazuju se kao vrlo korisne i vrlo često primjenjivane na fundamentalnom nivou. Ako se na prvi pogled čini da to nigdje ne može biti korisno, onda se varate. Matematika razvija logičko razmišljanje, koje nikada neće biti suvišno.
Zaključak
Sada kada smo shvatili kako crtati linije iz dvije date tačke, lako nam je odgovoriti na bilo koje pitanje u vezi s tim. Na primjer, ako vam nastavnik kaže: "Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke", onda vam neće biti teško to učiniti. Nadamo se da vam je ovaj članak bio od pomoći.
