Formule za određivanje udaljenosti od tačke do ravni i od tačke do prave

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Poznavanje udaljenosti od tačke do ravni ili do prave linije omogućava vam da izračunate zapreminu i površinu figura u prostoru. Proračun ove udaljenosti u geometriji se vrši pomoću odgovarajućih jednadžbi za navedene geometrijske objekte. U članku ćemo pokazati koje formule se mogu koristiti za određivanje.

Jednačine pravca i ravni

Pre nego što damo formule za određivanje udaljenosti od tačke do ravni i do prave, hajde da pokažemo koje jednačine opisuju ove objekte.

Za definisanje tačke koristi se skup koordinata u datom sistemu koordinatnih osa. Ovdje ćemo razmatrati samo kartezijanski pravougaoni sistem u kojem ose imaju iste jedinične vektore i međusobno su okomite. Na ravni, proizvoljna tačka je opisana sa dve koordinate, u prostoru - sa tri.

Različite vrste jednačina se koriste za definiranje prave linije. U skladu s temom članka, predstavljamosamo dva od njih, koji se koriste u dvodimenzionalnom prostoru za definisanje linija.

Vektorska jednadžba. Ima sljedeću notaciju:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).;}

Prvi pojam ovdje predstavlja koordinate poznate tačke koja leži na pravoj. Drugi pojam su koordinate vektora smjera pomnožene sa proizvoljnim brojem λ.

Opšta jednadžba. Njegova notacija je sljedeća:

Ax + By + C=0;

gdje su A, B, C neki koeficijenti.

Opća jednadžba se češće koristi za određivanje pravih na ravni, međutim, za pronalaženje udaljenosti od tačke do prave na ravni, pogodnije je raditi s vektorskim izrazom.

Ravan u trodimenzionalnom prostoru se takođe može napisati na nekoliko matematičkih načina. Ipak, najčešće u problemima postoji opšta jednadžba, koja se piše na sljedeći način:

Ax + By + Cz + D=0.

Prednost ove notacije u odnosu na ostale je u tome što eksplicitno sadrži koordinate vektora okomitog na ravan. Ovaj vektor se za njega naziva vodičem, poklapa se sa smjerom normale, a njegove koordinate su jednake (A; B; C).

Imajte na umu da se gornji izraz poklapa sa oblikom pisanja opće jednačine za pravu liniju u dvodimenzionalnom prostoru, tako da prilikom rješavanja problema treba paziti da ne pobrkate ove geometrijske objekte.

Udaljenost između tačke i linije

Pokažimo kako izračunati udaljenost između prave linije itačka u dvodimenzionalnom prostoru.

Neka postoji neka tačka Q(x₁; y_{1) i prava data sa:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).;}

Razdaljina između prave i tačke se shvata kao dužina segmenta okomitog na ovu pravu, spuštenog na nju iz tačke Q.

Prije izračunavanja ove udaljenosti, trebate zamijeniti Q koordinate u ovu jednačinu. Ako ga zadovoljavaju, onda Q pripada datoj liniji, a odgovarajuća udaljenost je jednaka nuli. Ako koordinate tačke ne dovode do jednakosti, tada je udaljenost između geometrijskih objekata različita od nule. Može se izračunati pomoću formule:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Ovdje je P proizvoljna tačka prave linije, koja je početak vektora PQ¯. Vektor u¯ je vodeći segment za pravu liniju, odnosno, njegove koordinate su (a; b).

Upotreba ove formule zahtijeva sposobnost izračunavanja unakrsnog proizvoda u brojiocu.

Problem sa tačkom i linijom

Recimo da trebate pronaći udaljenost između Q(-3; 1) i prave linije koja zadovoljava jednačinu:

y=5x -2.

Zamjenom koordinata Q u izraz, možemo biti sigurni da Q ne leži na pravoj. Možete primijeniti formulu za d datu u gornjem pasusu ako ovu jednačinu predstavite u vektorskom obliku. Uradimo to ovako:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Sada uzmimo bilo koju tačku na ovoj liniji, na primjer (0; -2), i napravimo vektor koji počinje od nje i završava se na Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Sada primijenite formulu za određivanje udaljenosti, dobijamo:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Udaljenost od tačke do ravni

Kao iu slučaju prave linije, udaljenost između ravni i tačke u prostoru se shvata kao dužina segmenta, koji se iz date tačke okomito spušta na ravan i siječe je.

U prostoru, tačka je data sa tri koordinate. Ako su jednaki (x₁; y₁; z_{1), tada je udaljenost između ravan i ta tačka se može izračunati pomoću formule:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Imajte na umu da korištenje formule vam omogućava da pronađete samo udaljenost od ravnine do prave. Da biste pronašli koordinate tačke u kojoj okomit segment siječe ravan, potrebno je napisati jednačinu za pravu kojoj ovaj segment pripada, a zatim pronaći zajedničku tačku za ovu pravu i datu ravan.

Problem sa ravninom i tačkom

Pronađi udaljenost od tačke do ravni ako je poznato da tačka ima koordinate (3; -1; 2) i da je ravan data sa:

-y + 3z=0.

Da bismo koristili odgovarajuću formulu, prvo ispisujemo koeficijente zadati avion. Pošto varijabla x i slobodni član odsutni, koeficijenti A i D su jednaki nuli. Imamo:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Lako je pokazati da ova ravan prolazi kroz ishodište i da joj x-osa pripada.

Zamenimo koordinate tačke i koeficijente ravni u formulu za rastojanje d, dobijamo:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Imajte na umu da ako promijenite x-koordinatu tačke, tada se udaljenost d neće promijeniti. Ova činjenica znači da skup tačaka (x; -1; 2) formira pravu liniju paralelnu datoj ravni.