Ravninske jednadžbe. Ugao između dvije ravni

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Ravan, zajedno sa tačkom i pravom linijom, je osnovni geometrijski element. Njegovom upotrebom izgrađuju se mnoge figure u prostornoj geometriji. U ovom članku ćemo detaljnije razmotriti pitanje kako pronaći ugao između dvije ravni.

Concept

Pre nego što počnete da govorite o uglu između dve ravni, trebalo bi da dobro razumete o kom elementu u geometriji je reč. Hajde da razumemo terminologiju. Ravan je beskonačna kolekcija tačaka u prostoru, povezujući koje dobijamo vektore. Potonji će biti okomit na neki vektor. Obično se naziva normala na ravan.

Slika iznad prikazuje ravan i dva normalna vektora na nju. Može se vidjeti da oba vektora leže na istoj pravoj liniji. Ugao između njih je 180o.

jednačine

Ugao između dve ravni se može odrediti ako je poznata matematička jednačina razmatranog geometrijskog elementa. Postoji nekoliko vrsta takvih jednadžbi,čija su imena navedena ispod:

• opći tip;
• vektor;
• u segmentima.

Ova tri tipa su najpogodnija za rješavanje raznih vrsta problema, pa se najčešće koriste.

Opća jednačina tipa izgleda ovako:

Ax + By + Cz + D=0.

Ovde su x, y, z koordinate proizvoljne tačke koja pripada datoj ravni. Parametri A, B, C i D su brojevi. Pogodnost ove notacije leži u činjenici da su brojevi A, B, C koordinate vektora normalne na ravan.

Vektorski oblik aviona može se predstaviti na sljedeći način:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Ovdje (a₂, b₂, c₂) i (a ₁, b₁, c₁) - parametri dva koordinatna vektora koji pripadaju razmatranoj ravni. Tačka (x₀, y₀, z_{0) takođe leži u ovoj ravni. Parametri α i β mogu imati nezavisne i proizvoljne vrijednosti.}

Konačno, jednačina ravnine u segmentima je predstavljena u sljedećem matematičkom obliku:

x/p + y/q + z/l=1.

Ovde su p, q, l specifični brojevi (uključujući negativne). Ova vrsta jednadžbe je korisna kada je potrebno prikazati ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu, jer brojevi p, q, l pokazuju tačke preseka sa x, y i z osaavion.

Imajte na umu da se svaka vrsta jednadžbe može pretvoriti u bilo koju drugu pomoću jednostavnih matematičkih operacija.

Formula za ugao između dvije ravni

Sada razmotrite sljedeću nijansu. U trodimenzionalnom prostoru dvije ravni se mogu locirati na samo dva načina. Ili se seku ili budu paralelni. Između dvije ravni ugao je ono što se nalazi između njihovih vodećih vektora (normalno). Sekući, 2 vektora formiraju 2 ugla (oštar i tup u opštem slučaju). Ugao između ravnina smatra se oštrim. Razmotrite jednačinu.

Formula za ugao između dvije ravni je:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Lako je pretpostaviti da je ovaj izraz direktna posljedica skalarnog proizvoda normalnih vektora n₁¯ i n₂ ¯ za razmatrane ravni. Modul tačkastog proizvoda u brojiocu pokazuje da će ugao θ uzeti samo vrednosti od 0^o do 90^{o. Proizvod modula normalnih vektora u nazivniku znači proizvod njihovih dužina.}

Napomena, ako je (n₁¯n_{2¯)=0, tada se ravni seku pod pravim uglom.}

Primjer problema

Kada smo shvatili šta se zove ugao između dve ravni, rešićemo sledeći problem. Kao primjer. Dakle, potrebno je izračunati ugao između ovakvih ravni:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Da biste riješili problem, morate znati vektore smjera ravnina. Za prvu ravan, normalni vektor je: n₁¯=(2, -3, 0). Da bismo pronašli vektor normale druge ravni, treba pomnožiti vektore iza parametara α i β. Rezultat je vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Za određivanje ugla θ koristimo formulu iz prethodnog paragrafa. Dobijamo:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Izračunati ugao u radijanima odgovara 31,26^o. Dakle, ravni iz uslova problema seku se pod uglom od 31, 26^o.