Tipičan geometrijski problem je pronalaženje ugla između linija. Na ravni, ako su poznate jednačine pravih, one se mogu nacrtati i kutomjerom mjeriti ugao. Međutim, ova metoda je naporna i nije uvijek moguća. Da biste saznali imenovani ugao, nije potrebno crtati prave linije, može se izračunati. Ovaj članak će odgovoriti kako se to radi.
Prava linija i njena vektorska jednadžba
Svaka prava linija se može predstaviti kao vektor koji počinje na -∞ i završava na +∞. U ovom slučaju vektor prolazi kroz neku tačku u prostoru. Dakle, svi vektori koji se mogu povući između bilo koje dvije tačke na pravoj liniji će biti međusobno paralelni. Ova definicija vam omogućava da postavite jednačinu prave linije u vektorskom obliku:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Ovdje, vektor sa koordinatama (a; b; c) je vodič za ovu liniju koja prolazi kroz tačku (x0; y0; z0). Parametar α vam omogućava da prenesete navedenu tačku na bilo koju drugu za ovu liniju. Ova jednadžba je intuitivna i laka za rad iu 3D prostoru i na ravni. Za ravan, neće sadržavati z koordinate i vektorsku komponentu trećeg smjera.
Pogodnost izvođenja proračuna i proučavanja relativnog položaja pravih linija zbog upotrebe vektorske jednačine je zbog činjenice da je njen usmjeravajući vektor poznat. Njegove koordinate se koriste za izračunavanje ugla između linija i udaljenosti između njih.
Opšta jednadžba za pravu liniju na ravni
Napišimo eksplicitno vektorsku jednačinu prave linije za dvodimenzionalni slučaj. Izgleda kao:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Sada izračunavamo parametar α za svaku jednakost i izjednačavamo prave dijelove dobijenih jednakosti:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Otvarajući zagrade i prebacujući sve pojmove na jednu stranu jednakosti, dobijamo:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, gdje je A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Rezultirajući izraz naziva se opšta jednačina za pravu liniju datu u dvodimenzionalnom prostoru (u trodimenzionalnom ova jednačina odgovara ravni paralelnoj sa z-osi, a ne pravoj liniji).
Ako eksplicitno zapišemo y kroz x u ovom izrazu, onda ćemo dobiti sljedeći oblik, poznatsvaki student:
y=kx + p, gdje je k=-A/B, p=-C/B
Ova linearna jednačina jedinstveno definira pravu liniju na ravni. Vrlo je lako nacrtati ga prema poznatoj jednadžbi, za to treba redom staviti x=0 i y=0, označiti odgovarajuće tačke u koordinatnom sistemu i nacrtati pravu liniju koja povezuje dobijene tačke.
Formula ugla između pravih
Na ravni, dvije prave se mogu ili seći ili biti paralelne jedna s drugom. U prostoru, ovim opcijama se dodaje mogućnost postojanja kosih linija. Koja god verzija relativnog položaja ovih jednodimenzionalnih geometrijskih objekata implementirana, kut između njih se uvijek može odrediti sljedećom formulom:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Gdje su v1¯ i v2¯ vodeći vektori za red 1 i 2 respektivno. Brojač je modul tačkastog proizvoda da se isključe tupi uglovi i uzmu u obzir samo oštri.
Vektori v1¯ i v2¯ mogu se dati sa dvije ili tri koordinate, dok formula za ugao φ ostaje nepromijenjen.
Paralelizam i okomitost pravih
Ako je ugao između 2 prave izračunate koristeći gornju formulu 0o, onda se kaže da su paralelne. Da biste utvrdili da li su linije paralelne ili ne, ne možete izračunati ugaoφ, dovoljno je pokazati da se jedan vektor smjera može predstaviti kroz sličan vektor druge linije, to jest:
v1¯=qv2¯
Ovdje q je pravi broj.
Ako su jednačine pravih date kao:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
onda će biti paralelni samo kada su koeficijenti od x jednaki, odnosno:
k1=k2
Ova činjenica se može dokazati ako razmotrimo kako je koeficijent k izražen u terminima koordinata usmjerajućeg vektora prave linije.
Ako je ugao preseka između linija 90o, tada se one nazivaju okomite. Da bi se odredila okomitost pravih, također nije potrebno izračunati ugao φ, za to je dovoljno izračunati samo skalarni proizvod vektora v1¯ i v 2¯. Mora biti nula.
U slučaju presecanja pravih u prostoru, može se koristiti i formula za ugao φ. U ovom slučaju, rezultat treba ispravno protumačiti. Izračunati φ pokazuje ugao između vektora pravca linija koje se ne seku i koje nisu paralelne.
Zadatak 1. Okomite linije
Poznato je da jednačine pravih imaju oblik:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Neophodno je utvrditi da li su ove linijeokomito.
Kao što je gore pomenuto, da bi se odgovorilo na pitanje, dovoljno je izračunati skalarni proizvod vektora vodilica, koji odgovaraju koordinatama (1; 2) i (-4; 2). Imamo:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Pošto smo dobili 0, to znači da se razmatrane prave seku pod pravim uglom, odnosno da su okomite.
Zadatak 2. Ugao presjeka linija
Poznato je da dvije jednadžbe za prave imaju sljedeći oblik:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Potrebno je pronaći ugao između linija.
Pošto koeficijenti od x imaju različite vrijednosti, ove prave nisu paralelne. Da bismo pronašli ugao koji nastaje kada se sijeku, svaku od jednadžbi prevodimo u vektorski oblik.
Za prvi red dobijamo:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Na desnoj strani jednačine, dobili smo vektor čije koordinate zavise od x. Hajde da ga predstavimo kao zbir dva vektora, a koordinate prvog će sadržavati varijablu x, a koordinate drugog će se sastojati isključivo od brojeva:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Pošto x uzima proizvoljne vrijednosti, može se zamijeniti parametrom α. Vektorska jednačina za prvi red postaje:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Radimo iste radnje sa drugom jednačinom linije, dobijamo:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Prepisali smo originalne jednadžbe u vektorskom obliku. Sada možete koristiti formulu za ugao presjeka, zamjenjujući u njoj koordinate usmjeravajućih vektora linija:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Dakle, linije koje se razmatraju seku se pod uglom od 71,565o, ili 1,249 radijana.
Ovaj problem je mogao biti riješen drugačije. Da biste to učinili, bilo je potrebno uzeti dvije proizvoljne tačke svake prave, od njih sastaviti direktne vektore, a zatim koristiti formulu za φ.
