Razdaljina između paralelnih linija. Udaljenost između paralelnih ravnina

Sadržaj:

Razdaljina između paralelnih linija. Udaljenost između paralelnih ravnina
Razdaljina između paralelnih linija. Udaljenost između paralelnih ravnina
Anonim

Linija i ravan su dva najvažnija geometrijska elementa koji se mogu koristiti za konstruisanje različitih oblika u 2D i 3D prostoru. Razmislite kako pronaći udaljenost između paralelnih pravih i paralelnih ravnina.

Matematički zadatak prava linija

Iz školskog kursa geometrije poznato je da se u dvodimenzionalnom pravougaonom koordinatnom sistemu prava može navesti u sledećem obliku:

y=kx + b.

Gdje su k i b brojevi (parametri). Pisani oblik predstavljanja prave u ravni je ravan koja je paralelna sa z-osi u trodimenzionalnom prostoru. S obzirom na to, u ovom članku, za matematičko zadavanje prave linije, koristićemo prikladniji i univerzalniji oblik - vektorski.

Pretpostavimo da je naša prava paralelna nekom vektoru u¯(a, b, c) i prolazi kroz tačku P(x0, y0, z0). U ovom slučaju, u vektorskom obliku, njegova jednačina će biti predstavljena na sljedeći način:

(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).

Ovdje λ je bilo koji broj. Ako eksplicitno predstavimo koordinate proširenjem zapisanog izraza, onda ćemo dobiti parametarski oblik pisanja prave linije.

Pogodno je raditi sa vektorskom jednadžbom prilikom rješavanja raznih zadataka u kojima je potrebno odrediti razmak između paralelnih pravih.

Linije i razmak između njih

Paralelne prave u ravni
Paralelne prave u ravni

Ima smisla govoriti o udaljenosti između linija samo kada su one paralelne (u trodimenzionalnom slučaju postoji i razdaljina koja nije nula između kosih linija). Ako se prave seku, onda je očigledno da su na nultom rastojanju jedna od druge.

Razmak između paralelnih linija je dužina okomice koja ih povezuje. Da biste odredili ovaj indikator, dovoljno je odabrati proizvoljnu tačku na jednoj od pravih i ispustiti okomicu s nje na drugu.

Opišimo ukratko proceduru za pronalaženje željene udaljenosti. Pretpostavimo da znamo vektorske jednadžbe dvije prave, koje su predstavljene u sljedećem opštem obliku:

(x, y, z)=P + λu¯;

(x, y, z)=Q + βv¯.

Konstruirajte paralelogram na ovim pravima tako da jedna strana bude PQ, a druga, na primjer, u. Očigledno, visina ove figure, povučena iz tačke P, je dužina tražene okomice. Da biste ga pronašli, možete primijeniti sljedeće jednostavneformula:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Pošto je rastojanje između pravih dužina okomitog segmenta između njih, onda je prema napisanom izrazu dovoljno pronaći modul vektorskog proizvoda PQ¯ i u¯ i rezultat podijeliti sa dužina vektora u¯.

Primjer zadatka za određivanje udaljenosti između pravih linija

Udaljenost između paralelnih linija
Udaljenost između paralelnih linija

Dve prave su date sledećim vektorskim jednačinama:

(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);

(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).

Iz napisanih izraza jasno je da imamo dvije paralelne prave. Zaista, ako pomnožimo sa -1 koordinate vektora pravca prve linije, dobićemo koordinate vektora pravca druge linije, što ukazuje na njihov paralelizam.

Razmak između pravih linija će se izračunati pomoću formule napisane u prethodnom pasusu članka. Imamo:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);

u¯=(-2, 1, 3).

Onda dobijamo:

|u¯|=√14cm;

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 cm.

Imajte na umu da umjesto tačaka P i Q, apsolutno sve tačke koje pripadaju ovim linijama mogu se koristiti za rješavanje problema. U ovom slučaju, dobili bismo istu udaljenost d.

Postavljanje ravni u geometriji

Ravan, tačka i normala
Ravan, tačka i normala

Pitanje udaljenosti između linija je detaljno razmotreno gore. Sada ćemo pokazati kako pronaći udaljenost između paralelnih ravnina.

Svako predstavlja šta je avion. Prema matematičkoj definiciji, navedeni geometrijski element je skup tačaka. Štaviše, ako sastavite sve moguće vektore koristeći ove tačke, onda će svi oni biti okomiti na jedan jedini vektor. Ovo posljednje se obično naziva normalom na ravan.

Za specifikaciju jednačine ravnine u trodimenzionalnom prostoru najčešće se koristi opšti oblik jednačine. To izgleda ovako:

Ax + By + Cz + D=0.

Gdje su velika latinična slova neki brojevi. Pogodno je koristiti ovakvu ravninu jednadžbe jer su koordinate vektora normale eksplicitno date u njoj. To su A, B, C.

Lako je vidjeti da su dvije ravni paralelne samo kada su njihove normale paralelne.

Kako pronaći rastojanje između dvije paralelne ravni ?

Paralelne ravni
Paralelne ravni

Da biste odredili navedenu udaljenost, trebali biste jasno razumjeti šta je u pitanju. Udaljenost između ravnina koje su paralelne jedna s drugom podrazumijeva se kao dužina segmenta koji je okomit na njih. Krajevi ovog segmenta pripadaju ravnima.

Algoritam za rješavanje ovakvih problema je jednostavan. Da biste to učinili, morate pronaći koordinate apsolutno bilo koje tačke koja pripada jednoj od dvije ravni. Zatim, trebate koristiti ovu formulu:

d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).

Pošto je udaljenost pozitivna vrijednost, znak modula je u brojiocu. Napisana formula je univerzalna, jer vam omogućava da izračunate udaljenost od ravnine do apsolutno bilo kojeg geometrijskog elementa. Dovoljno je znati koordinate jedne tačke ovog elementa.

Radi kompletnosti, napominjemo da ako normale dvije ravni nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takve ravni seći. Udaljenost između njih će tada biti nula.

Problem određivanja udaljenosti između aviona

Paralelne i presečne ravni
Paralelne i presečne ravni

Poznato je da su dvije ravni date sljedećim izrazima:

y/5 + x/(-3) + z/1=1;

-x + 3/5y + 3z – 2=0.

Potrebno je dokazati da su ravni paralelne, kao i odrediti rastojanje između njih.

Da biste odgovorili na prvi dio zadatka, trebate prvu jednačinu dovesti u opći oblik. Imajte na umu da je dat u takozvanom obliku jednadžbe u segmentima. Pomnožite njegove lijevi i desni dio sa 15 i premjestite sve članove na jednu stranu jednačine, dobićemo:

-5x + 3y + 15z – 15=0.

Napišimo koordinate dva normalna vektora ravnina:

1¯=(-5, 3, 15);

2¯=(-1, 3/5, 3).

Može se vidjeti da ako se n2¯ pomnoži sa 5, tada ćemo tačno dobiti koordinate n1¯. Dakle, razmatrane ravni suparalelno.

Da biste izračunali udaljenost između paralelnih ravnina, odaberite proizvoljnu tačku prve od njih i koristite gornju formulu. Na primjer, uzmimo tačku (0, 0, 1) koja pripada prvoj ravni. Tada dobijamo:

d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=

=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.

Željena udaljenost je 31 mm.

Udaljenost između aviona i linije

Paralelna ravan i prava
Paralelna ravan i prava

Pruženo teorijsko znanje nam takođe omogućava da rešimo problem određivanja udaljenosti između prave i ravni. Gore je već spomenuto da je formula koja vrijedi za proračune između ravnina univerzalna. Može se koristiti i za rješavanje problema. Da biste to učinili, samo odaberite bilo koju tačku koja pripada datoj liniji.

Glavni problem u određivanju udaljenosti između razmatranih geometrijskih elemenata je dokaz njihovog paralelizma (ako nije, onda je d=0). Paralelizam je lako dokazati ako izračunate skalarni proizvod normale i vektora smjera za pravu. Ako su elementi koji se razmatraju paralelni, onda će ovaj proizvod biti jednak nuli.

Preporučuje se: