Metode za postavljanje jednadžbi linija u ravni i u trodimenzionalnom prostoru

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Prava linija je glavni geometrijski objekat na ravni i u trodimenzionalnom prostoru. Od pravih linija se grade mnoge figure, na primjer: paralelogram, trokut, prizma, piramida i tako dalje. Razmotrite u članku različite načine postavljanja jednadžbi linija.

Definicija prave linije i tipovi jednadžbi za njeno opisivanje

Svaki učenik ima dobru ideju o kojem geometrijskom objektu govori. Prava linija se može predstaviti kao skup tačaka, a ako svaku od njih povežemo redom sa svim ostalima, dobićemo skup paralelnih vektora. Drugim riječima, moguće je doći do svake tačke prave iz jedne od njenih fiksnih tačaka, prenoseći je u neki jedinični vektor pomnožen realnim brojem. Ova definicija prave linije se koristi za definiranje vektorske jednakosti za njen matematički opis kako u ravni tako iu trodimenzionalnom prostoru.

Prava linija se može matematički predstaviti sljedećim vrstama jednačina:

općenito;
vektor;
parametric;
u segmentima;
simetrično (kanonsko).

Dalje ćemo razmotriti sve imenovane tipove i pokazati kako se sa njima radi na primjerima rješavanja problema.

Vektorski i parametarski opis prave linije

Počnimo sa definisanjem prave linije kroz poznati vektor. Pretpostavimo da postoji fiksna tačka u prostoru M(x₀; y₀; z_{0). Poznato je da kroz njega prolazi prava linija i usmjerena je duž vektorskog segmenta v¯(a; b; c). Kako iz ovih podataka pronaći proizvoljnu tačku prave? Odgovor na ovo pitanje će dati sljedeću jednakost:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Gdje je λ proizvoljan broj.

Sličan izraz se može napisati za dvodimenzionalni slučaj, gdje su koordinate vektora i tačaka predstavljene skupom od dva broja:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Napisane jednačine se nazivaju vektorske jednačine, a sam usmjereni segment v¯ je vektor smjera za pravu liniju.

Iz napisanih izraza odgovarajuće parametarske jednačine se dobijaju jednostavno, dovoljno ih je eksplicitno prepisati. Na primjer, za slučaj u prostoru, dobijamo sljedeću jednačinu:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Pogodno je raditi sa parametarskim jednadžbama ako trebate analizirati ponašanjesvaka koordinata. Imajte na umu da iako parametar λ može uzeti proizvoljne vrijednosti, on mora biti isti u sve tri jednakosti.

Opšta jednadžba

Drugi način da se definiše prava linija, koja se često koristi za rad sa razmatranim geometrijskim objektom, je upotreba opšte jednačine. Za dvodimenzionalno kućište, to izgleda ovako:

Ax + By + C=0

Ovdje velika latinična slova predstavljaju određene numeričke vrijednosti. Pogodnost ove jednakosti u rješavanju problema leži u činjenici da ona eksplicitno sadrži vektor koji je okomit na pravu liniju. Ako ga označimo sa n¯, onda možemo napisati:

n¯=[A; B

Pored toga, izraz je pogodan za određivanje udaljenosti od prave linije do neke tačke P(x₁; y_{1). Formula za udaljenost d je:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Lako je pokazati da ako eksplicitno izrazimo varijablu y iz opće jednačine, dobijamo sljedeći dobro poznati oblik pisanja prave linije:

y=kx + b

Gdje su k i b jedinstveno određeni brojevima A, B, C.

Jednačina u segmentima i kanonska

Jednačinu u segmentima najlakše je dobiti iz opšteg pogleda. Pokazat ćemo vam kako to učiniti.

Pretpostavimo da imamo sljedeću liniju:

Ax + By + C=0

Pomerite slobodni član na desnu stranu jednakosti, zatim podelite celu jednačinu sa njom, dobijamo:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, gdje je q=-C / A, p=-C / B

Dobili smo takozvanu jednačinu u segmentima. Ime je dobio zbog činjenice da nazivnik kojim se svaka varijabla dijeli pokazuje vrijednost koordinate presjeka prave s odgovarajućom osom. Ovu činjenicu je zgodno koristiti za prikaz prave linije u koordinatnom sistemu, kao i za analizu njenog relativnog položaja u odnosu na druge geometrijske objekte (prave, tačke).

Pređimo sada na dobijanje kanonske jednačine. To je lakše učiniti ako uzmemo u obzir parametarsku opciju. Za slučaj u avionu imamo:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Izražavamo parametar λ u svakoj jednakosti, zatim ih izjednačavamo, dobijamo:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Ovo je željena jednačina napisana u simetričnom obliku. Baš kao vektorski izraz, on eksplicitno sadrži koordinate vektora pravca i koordinate jedne od tačaka koja pripada pravoj.

Može se vidjeti da smo u ovom paragrafu dali jednačine za dvodimenzionalni slučaj. Slično, možete napisati jednačinu prave linije u prostoru. Ovdje treba napomenuti da ako je kanonski oblikzapisi i izraz u segmentima će imati isti oblik, tada je opšta jednačina u prostoru za pravu liniju predstavljena sistemom od dve jednačine za ravnine koje se seku.

Problem konstruisanja jednačine prave

Iz geometrije, svaki učenik zna da kroz dvije tačke možete povući jednu liniju. Pretpostavimo da su sljedeće tačke date u koordinatnoj ravni:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Potrebno je pronaći jednačinu prave kojoj obe tačke pripadaju, u segmentima, u vektorskom, kanonskom i opštem obliku.

Uzmimo prvo vektorsku jednačinu. Da biste to učinili, definirajte za vektor direktnog smjera M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Sada možete kreirati vektorsku jednačinu uzimajući jednu od dvije tačke navedene u iskazu problema, na primjer, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Da bismo dobili kanonsku jednačinu, dovoljno je transformirati pronađenu jednakost u parametarski oblik i isključiti parametar λ. Imamo:

x=-1 - 2λ, dakle λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, tada dobijamo λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Preostale dvije jednadžbe (opće i u segmentima) se mogu naći iz kanonske transformacije na sljedeći način:

x + 1=-2y + 6;

opšta jednačina: x + 2y - 5=0;

u segmentnoj jednadžbi: x / 5 + y / 2, 5=1

Rezultirajuće jednačine pokazuju da vektor (1; 2) mora biti okomit na pravu. Zaista, ako pronađete njegov skalarni proizvod sa vektorom smjera, tada će biti jednak nuli. Jednačina segmenta linije kaže da prava siječe x-osu na (5; 0) i y-osu na (2, 5; 0).

Problem određivanja tačke preseka pravih

Dve prave su date na ravni sledećim jednačinama:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Potrebno je odrediti koordinate tačke u kojoj se ove prave seku.

Postoje dva načina za rješavanje problema:

Transformirajte vektorsku jednačinu u opći oblik, a zatim riješite sistem od dvije linearne jednačine.
Ne izvodite nikakve transformacije, već jednostavno zamijenite koordinatu točke presjeka, izraženu kroz parametar λ, u prvu jednačinu. Zatim pronađite vrijednost parametra.

Učinimo drugi način. Imamo: