Vektor je važan geometrijski objekat, uz pomoć njegovih svojstava pogodan je za rješavanje mnogih problema na ravni i svemiru. U ovom članku ćemo ga definirati, razmotriti njegove glavne karakteristike, a također ćemo pokazati kako se vektor u prostoru može koristiti za definiranje ravnina.
Šta je vektor: dvodimenzionalni slučaj
Pre svega, potrebno je jasno razumeti o kom objektu je reč. U geometriji, usmjereni segment se naziva vektor. Kao i svaki segment, karakteriziraju ga dva glavna elementa: početna i krajnja točka. Koordinate ovih tačaka jedinstveno određuju sve karakteristike vektora.
Razmotrimo primjer vektora na ravni. Da bismo to učinili, nacrtamo dvije međusobno okomite ose x i y. Označimo proizvoljnu tačku P(x, y). Ako ovu tačku povežemo sa ishodištem (tačka O), a zatim odredimo pravac na P, onda ćemo dobiti vektor OP¯ (kasnije u članku, traka iznad simbola označava da razmatramo vektor). Vektorski crtež na avionu je prikazan ispod.
Ovde je takođe prikazan drugi vektor AB¯ i možete videti da su njegove karakteristike potpuno iste kao OP¯, ali je u drugom delu koordinatnog sistema. Paralelnim prevođenjem OP¯, možete dobiti beskonačan broj vektora sa istim svojstvima.
Vektor u svemiru
Svi stvarni objekti koji nas okružuju nalaze se u trodimenzionalnom prostoru. Proučavanje geometrijskih svojstava trodimenzionalnih figura bavi se stereometrijom, koja operiše konceptom trodimenzionalnih vektora. Razlikuju se od dvodimenzionalnih samo po tome što njihov opis zahtijeva dodatnu koordinatu, koja se mjeri duž treće okomite x i y osi z.
Slika ispod prikazuje vektor u prostoru. Koordinate njegovog kraja duž svake ose označene su obojenim segmentima. Početak vektora se nalazi u tački preseka sve tri koordinatne ose, odnosno ima koordinate (0; 0; 0).
Pošto je vektor na ravni poseban slučaj prostorno usmjerenog segmenta, u članku ćemo razmatrati samo trodimenzionalni vektor.
Vektorske koordinate zasnovane na poznatim koordinatama njegovog početka i kraja
Pretpostavimo da postoje dvije točke P(x1; y1; z1) i Q(x2; y2; z2). Kako odrediti koordinate vektora PQ¯. Prvo, potrebno je dogovoriti koja će od tačaka biti početak, a koja kraj vektora. U matematici je uobičajeno da se predmet piše duž njegovog pravca, odnosno P je početak, Q- kraj. Drugo, koordinate vektora PQ¯ se izračunavaju kao razlika između odgovarajućih koordinata kraja i početka, odnosno:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Imajte na umu da će promjenom smjera vektora njegove koordinate promijeniti predznak, na sljedeći način:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Ovo znači PQ¯=-QP¯.
Važno je razumjeti još jednu stvar. Gore je rečeno da u ravni postoji beskonačan broj vektora jednakih datom. Ova činjenica vrijedi i za prostorni slučaj. U stvari, kada smo izračunali koordinate PQ¯ u gornjem primjeru, izvršili smo operaciju paralelne translacije ovog vektora na način da se njegovo porijeklo poklapa sa ishodištem. Vektor PQ¯ se može nacrtati kao usmjereni segment od početka do tačke M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektorska svojstva
Kao i svaki geometrijski objekat, vektor ima neke inherentne karakteristike koje se mogu koristiti za rješavanje problema. Hajde da ih ukratko navedemo.
Vektorski modul je dužina usmjerenog segmenta. Poznavajući koordinate, lako ih je izračunati. Za vektor PQ¯ u gornjem primjeru, modul je:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektorski modul uključenravan se izračunava po sličnoj formuli, samo bez učešća treće koordinate.
Zbir i razlika vektora vrši se prema pravilu trougla. Slika ispod pokazuje kako sabirati i oduzimati ove objekte.
Da dobijete vektor zbira, dodajte početak drugog na kraj prvog vektora. Željeni vektor će početi na početku prvog i završiti na kraju drugog vektora.
Razlika se izvodi uzimajući u obzir činjenicu da se oduzeti vektor zamjenjuje suprotnim, a zatim se izvodi gore opisana operacija sabiranja.
Osim sabiranja i oduzimanja, važno je biti u stanju pomnožiti vektor brojem. Ako je broj jednak k, onda se dobija vektor čiji je modul k puta različit od originalnog, a smjer je ili isti (k>0) ili suprotan od originalnog (k<0).
Operacija množenja vektora među sobom je također definirana. Za to ćemo izdvojiti poseban pasus u članku.
Skalarno i vektorsko množenje
Pretpostavimo da postoje dva vektora u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Vektor po vektor se može množiti na dva različita načina:
- Skalar. U ovom slučaju, rezultat je broj.
- Vektor. Rezultat je neki novi vektor.
Skalarni proizvod vektora u¯ i v¯ se izračunava na sljedeći način:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Gdje je α ugao između datih vektora.
Može se pokazati da se znajući koordinate u¯ i v¯, njihov tačkasti proizvod može izračunati korištenjem sljedeće formule:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalarni proizvod je pogodan za korištenje kada se vektor razlaže na dva okomito usmjerena segmenta. Takođe se koristi za izračunavanje paralelizma ili ortogonalnosti vektora i za izračunavanje ugla između njih.
Unakrsni proizvod u¯ i v¯ daje novi vektor koji je okomit na originalne i ima modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Smjer prema dolje ili gore novog vektora određen je pravilom desne ruke (četiri prsta desne ruke usmjerena su od kraja prvog vektora do kraja drugog, a palac viri prema gore označava smjer novog vektora). Slika ispod prikazuje rezultat unakrsnog proizvoda za proizvoljni a¯ i b¯.
Unakrsni proizvod se koristi za izračunavanje površina figura, kao i za određivanje koordinata vektora okomitog na datu ravan.
Vektori i njihova svojstva pogodni su za korištenje prilikom definiranja jednačine ravnine.
Normalna i opšta jednačina ravni
Postoji nekoliko načina za definiranje ravni. Jedan od njih je izvođenje opšte jednadžbe ravni, koja direktno sledi iz poznavanja vektora koji je okomit na nju i neke poznate tačke koja pripada ravni.
Pretpostavimo da postoji vektor n¯ (A; B; C) i tačka P (x0; y0; z 0). Koji uslov će zadovoljiti sve tačke Q(x; y; z) ravnine? Ovaj uslov se sastoji u okomitosti bilo kojeg vektora PQ¯ na normalu n¯. Za dva okomita vektora, tačkasti proizvod postaje nula (cos(90o)=0), napišite ovo:
(n¯PQ¯)=0 ili
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Otvarajući zagrade, dobijamo:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ili
Ax + By + Cz +D=0 gdje je D=-Ax0-By0-Cz0.
Ova jednačina se naziva opšta za ravan. Vidimo da su koeficijenti ispred x, y i z koordinate vektora okomite n¯. Zove se vodič za avion.
Vektorska parametarska jednadžba ravni
Drugi način definiranja ravni je korištenje dva vektora koja leže u njoj.
Pretpostavimo da postoje vektori u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Kao što je rečeno, svaki od njih u prostoru može biti predstavljen beskonačnim brojem identičnih usmjerenih segmenata, stoga je potrebna još jedna tačka za jednoznačno određivanje ravni. Neka je ova tačka P(x0;y0; z0). Bilo koja tačka Q(x; y; z) će ležati u željenoj ravni ako se vektor PQ¯ može predstaviti kao kombinacija u¯ i v¯. To jest, imamo:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Gdje su α i β neki realni brojevi. Iz ove jednakosti slijedi izraz:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Zove se parametarska vektorska jednadžba ravnine u odnosu na 2 vektora u¯ i v¯. Zamjenom proizvoljnih parametara α i β, mogu se pronaći sve tačke (x; y; z) koje pripadaju ovoj ravni.
Iz ove jednačine je lako dobiti opšti izraz za ravan. Da biste to učinili, dovoljno je pronaći vektor smjera n¯, koji će biti okomit na oba vektora u¯ i v¯, odnosno treba primijeniti njihov vektorski proizvod.
Problem određivanja opšte jednačine ravni
Pokažimo kako koristiti gornje formule za rješavanje geometrijskih problema. Pretpostavimo da je vektor pravca ravni n¯(5; -3; 1). Trebali biste pronaći jednačinu ravni, znajući da joj pripada tačka P(2; 0; 0).
Opća jednačina je napisana kao:
Ax + By + Cz +D=0.
Pošto je vektor okomit na ravan poznat, jednačina će imati oblik:
5x - 3y + z +D=0.
Ostaje pronaći slobodni termin D. Računamo ga iz poznavanja koordinata P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Dakle, željena jednačina ravni ima oblik:
5x - 3y + z -10=0.
Slika ispod pokazuje kako izgleda rezultirajući avion.
Naznačene koordinate tačaka odgovaraju presecima ravni sa x, y i z osa.
Problem određivanja ravni kroz dva vektora i tačku
Sad pretpostavimo da je prethodna ravan definisana drugačije. Poznata su dva vektora u¯(-2; 0; 10) i v¯(-2; -10/3; 0), kao i tačka P(2; 0; 0). Kako napisati jednadžbu ravnine u vektorskom parametarskom obliku? Koristeći razmatranu odgovarajuću formulu, dobijamo:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Primjetite da se definicije ove jednačine ravnine, vektori u¯ i v¯ mogu uzeti apsolutno bilo koje, ali uz jedan uvjet: ne smiju biti paralelni. Inače, ravan se ne može jednoznačno odrediti, međutim, može se naći jednačina za gredu ili skup ravnina.
