Dihedralni uglovi piramide i način njihovog izračunavanja

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Tipični linearni parametri bilo koje piramide su dužine stranica njene osnove, visina, bočne ivice i apoteme. Ipak, postoji još jedna karakteristika koja je povezana s navedenim parametrima - ovo je diedralni ugao. Razmotrite u članku šta je to i kako ga pronaći.

Piramida prostorne figure

Svaki student ima dobru predstavu o tome šta je u pitanju kada čuje riječ "piramida". Može se konstruirati geometrijski na sljedeći način: odaberite određeni poligon, zatim fiksirajte tačku u prostoru i povežite je sa svakim kutom poligona. Dobivena trodimenzionalna figura bit će piramida proizvoljnog tipa. Poligon koji ga formira naziva se baza, a tačka na koju su spojeni svi njegovi uglovi je vrh figure. Slika ispod šematski prikazuje petougaonu piramidu.

Može se vidjeti da njegovu površinu čini ne samo petougao, već i pet trouglova. U principu, broj ovih trouglova će biti jednak brojustrane poligonalne baze.

Dihedralni uglovi figure

Kada se geometrijski problemi razmatraju na ravni, bilo koji ugao formiraju dvije prave linije ili segmenti koji se seku. U prostoru, ovim linearnim uglovima se dodaju diedarski uglovi, formirani presekom dve ravni.

Ako se označena definicija ugla u prostoru primeni na dotičnu figuru, onda možemo reći da postoje dve vrste diedarskih uglova:

• U podnožju piramide. Formira ga ravnina osnove i bilo koja od bočnih strana (trokut). To znači da su bazni uglovi piramide n, gde je n broj strana poligona.
• Između stranica (trouglova). Broj ovih diedarskih uglova je takođe n komada.

Imajte na umu da je prvi tip razmatranih uglova izgrađen na ivicama baze, a drugi tip - na bočnim ivicama.

Kako izračunati uglove piramide?

Linearni ugao diedralnog ugla je mjera potonjeg. Nije ga lako izračunati, jer se lica piramide, za razliku od lica prizme, u opštem slučaju ne sijeku pod pravim uglom. Najpouzdanije je izračunati vrijednosti diedarskih uglova koristeći jednadžbe ravni u opštem obliku.

U trodimenzionalnom prostoru, ravan je data sljedećim izrazom:

Ax + By + Cz + D=0

Gdje su A, B, C, D neki realni brojevi. Pogodnost ove jednadžbe je da su prva tri označena broja koordinate vektora,koja je okomita na datu ravan, tj.:

n¯=[A; B; C

Ako su poznate koordinate tri tačke koje pripadaju ravni, onda uzimanjem vektorskog proizvoda dva vektora izgrađena na ovim tačkama, mogu se dobiti koordinate n¯. Vektor n¯ se zove vodič za ravan.

Prema definiciji, diedarski ugao formiran presekom dve ravni jednak je linearnom uglu između njihovih vektora pravca. Pretpostavimo da imamo dvije ravni čiji su normalni vektori jednaki:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂

Da biste izračunali ugao φ između njih, možete koristiti svojstvo skalarnog proizvoda, tada odgovarajuća formula postaje:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Ili u obliku koordinata:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Pokažimo kako koristiti gornju metodu za izračunavanje diedralnih uglova prilikom rješavanja geometrijskih problema.

Uglovi pravilne četvorougaone piramide

Pretpostavimo da postoji pravilna piramida u čijoj se osnovi nalazi kvadrat sa stranicom od 10 cm. Visina figure je12 cm. Potrebno je izračunati koliki su diedarski uglovi u osnovi piramide i za njene stranice.

Pošto je figura data u uslovu zadatka tačna, odnosno ima visoku simetriju, onda su svi uglovi u osnovi međusobno jednaki. Uglovi formirani od strane bočnih strana su također isti. Da bismo izračunali potrebne diedralne uglove, nalazimo vektore pravca za bazu i dve bočne ravni. Označite dužinu stranice baze slovom a, a visinu h.

Na gornjoj slici je prikazana četvorougaona pravilna piramida. Ispišimo koordinate tačaka A, B, C i D u skladu sa unesenim koordinatnim sistemom:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Sada pronalazimo vektore pravca za osnovne ravni ABC i dvije strane ABD i BCD u skladu s metodom opisanom u gornjem paragrafu:

Za ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Za ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Za BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Sada ostaje primijeniti odgovarajuću formulu za ugao φ i zamijeniti vrijednosti strane i visine iz iskaza problema:

Ugao između ABC iABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2) /4)))=67, 38^o

Ugao između ABD i BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a) 2^{/4)))=81, 49}o

Izračunali smo vrijednosti uglova koje je trebalo pronaći prema uslovu problema. Formule dobijene pri rješavanju problema mogu se koristiti za određivanje diedarskih uglova četverokutnih pravilnih piramida sa bilo kojom vrijednošću a i h.

Uglovi trouglaste pravilne piramide

Slika ispod prikazuje piramidu čija je osnova pravilan trougao. Poznato je da je diedarski ugao između stranica pravi. Potrebno je izračunati površinu osnove ako se zna da je visina figure 15 cm.

Diedralni ugao jednak 90^o označen je kao ABC na slici. Problem možete riješiti koristeći gornju metodu, ali u ovom slučaju ćemo to učiniti lakše. Označimo stranu trougla a, visinu figure - h, apotemu - h_b i stranurebro - b. Sada možete napisati sljedeće formule:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Pošto su dva bočna trougla u piramidi ista, stranice AB i CB su jednake i kraci su trougla ABC. Označimo njihovu dužinu sa x, tada:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Izjednačavajući površine bočnih trouglova i zamjenom apoteme u odgovarajući izraz, imamo:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Površina jednakostraničnog trougla izračunava se na sljedeći način:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Zamenite vrednost visine iz uslova zadatka, dobijamo odgovor: S=584, 567 cm².