Geometrija je lijepa jer, za razliku od algebre, gdje nije uvijek jasno šta mislite i zašto, daje vidljivost objektu. Ovaj divni svijet raznih tijela ukrašen je pravilnim poliedrima.
Opće informacije o pravilnim poliedrima
Prema mnogima, pravilni poliedri, ili kako ih još zovu Platonska tijela, imaju jedinstvena svojstva. Nekoliko naučnih hipoteza je povezano sa ovim objektima. Kada počnete proučavati ova geometrijska tijela, shvatite da ne znate praktično ništa o takvom konceptu kao što su pravilni poliedri. Prezentacija ovih predmeta u školi nije uvijek zanimljiva, pa se mnogi ni ne sjećaju kako se zovu. Većina ljudi pamti samo kocku. Nijedno tijelo u geometriji nije savršeno kao pravilni poliedri. Sva imena ovih geometrijskih tijela potječu iz antičke Grčke. Oni označavaju broj lica: tetraedar - četvorostrani, heksaedar - šestostrani, oktaedar - oktaedar, dodekaedar - dvanaestostrani, ikosaedar - dvadesetostrani. Sva ova geometrijska tijelazauzimao je važno mjesto u Platonovom konceptu univerzuma. Četiri od njih personificiraju elemente ili entitete: tetraedar - vatru, ikosaedar - vodu, kocka - zemlju, oktaedar - zrak. Dodekaedar je utjelovio sve što postoji. Smatran je glavnim, jer je bio simbol univerzuma.
Generalizacija koncepta poliedra
Poliedar je kolekcija konačnog broja poligona tako da:
- svaka strana bilo kojeg od poligona je u isto vrijeme stranica samo jednog drugog poligona na istoj strani;
- od svakog poligona možete doći do ostalih prolazeći duž poligona koji su uz njega.
Mnogouglovi koji čine poliedar su njegove strane, a njihove stranice su ivice. Vrhovi poliedra su vrhovi poligona. Ako se koncept poligona shvati kao ravne zatvorene izlomljene linije, dolazi se do jedne definicije poliedra. U slučaju kada se pod ovim konceptom podrazumijeva dio ravni koji je ograničen isprekidanim linijama, onda treba razumjeti površinu koja se sastoji od poligonalnih dijelova. Konveksni poliedar je tijelo koje leži na jednoj strani ravni koja graniči sa njegovom licem.
Još jedna definicija poliedra i njegovih elemenata
Poliedar je površina koja se sastoji od poligona koja ograničava geometrijsko tijelo. To su:
- nekonveksan;
- konveksno (tačno i netačno).
Pravilan poliedar je konveksan poliedar sa maksimalnom simetrijom. Elementi pravilnih poliedara:
- tetraedar: 6 ivica, 4 lica, 5 vrhova;
- heksaedar (kocka): 12, 6, 8;
- dodekaedar: 30, 12, 20;
- oktaedar: 12, 8, 6;
- ikosaedar: 30, 20, 12.
Ojlerova teorema
Uspostavlja odnos između broja ivica, vrhova i lica koja su topološki ekvivalentna sferi. Sabiranjem broja vrhova i lica (B + D) različitih pravilnih poliedara i poređenjem sa brojem ivica može se ustanoviti jedan obrazac: zbir broja lica i vrhova jednak je povećanom broju bridova (P). po 2. Možete izvesti jednostavnu formulu:
B + D=R + 2
Ova formula vrijedi za sve konveksne poliedre.
Osnovne definicije
Koncept pravilnog poliedra se ne može opisati jednom rečenicom. To je sadržajnije i obimnije. Da bi tijelo bilo prepoznato kao takvo, ono mora ispuniti niz definicija. Dakle, geometrijsko tijelo će biti pravilan poliedar ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
- je konveksan;
- isti broj ivica konvergira na svakom od njegovih vrhova;
- sva njegova lica su pravilni poligoni, jednaki jedan drugom;
- svi njegovi diedralni uglovi su jednaki.
Svojstva pravilnog poliedra
Postoji 5 različitih tipova pravilnih poliedara:
- Kocka (heksaedar) - ima ravan ugao na vrhu je 90°. Ima trostrani ugao. Zbir ravnih uglova na vrhu je 270°.
- Tetraedar - ravan ugao na vrhu - 60°. Ima trostrani ugao. Zbir ravnih uglova na vrhu je 180°.
- Oktaedar - ugao ravnog vrha - 60°. Ima 4-strani ugao. Zbir ravnih uglova na vrhu je 240°.
- Dodekaedar - ravan ugao na vrhu 108°. Ima trostrani ugao. Zbir ravnih uglova na vrhu je 324°.
- Ikosaedar - ima ravan ugao na vrhu - 60°. Ima 5-strani ugao. Zbir ravnih uglova na vrhu je 300°.
Površina pravilnih poliedara
Površina ovih geometrijskih tijela (S) izračunava se kao površina pravilnog poligona pomnožena brojem njegovih strana (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Zapremina pravilnog poliedra
Ova vrijednost se izračunava množenjem zapremine pravilne piramide, u čijoj se osnovi nalazi pravilan poligon, brojem lica, a njena visina je polumjer upisane sfere (r):
V=1: 3rS
Zapremine pravilnih poliedara
Kao i svako drugo geometrijsko tijelo, pravilni poliedri imaju različite zapremine. Ispod su formule po kojima ih možete izračunati:
- tetraedar: α x 3√2: 12;
- oktaedar: α x 3√2: 3;
- icosaedron; α x 3;
- heksaedar (kocka): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedar: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementi pravilnog poliedra
Heksaedar i oktaedar su dualna geometrijska tijela. Drugim riječima, mogu se dobiti jedna od druge ako se težište lica jednog uzme kao vrh drugog, i obrnuto. Ikosaedar i dodekaedar su takođe dualni. Samo je tetraedar dualan samom sebi. Prema Euklidovom metodu, možete dobiti dodekaedar od heksaedra tako što ćete izgraditi "krovove" na stranama kocke. Vrhovi tetraedra će biti bilo koja 4 vrha kocke koji nisu susjedni u parovima duž ivice. Iz heksaedra (kocke) možete dobiti druge pravilne poliedre. Uprkos činjenici da postoji bezbroj pravilnih poligona, postoji samo 5 pravilnih poliedara.
Radijus pravilnih poligona
Postoje 3 koncentrične sfere povezane sa svakim od ovih geometrijskih tijela:
- opisano, prolazeći kroz njegove vrhove;
- upisano, dodirujući svako njegovo lice u njegovom centru;
- medijan, dodirujući sve ivice u sredini.
Poluprečnik opisane sfere izračunava se po sljedećoj formuli:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Poluprečnik upisane sfere izračunava se po formuli:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
gdje je θ diedarski ugao između susjednih strana.
Poluprečnik srednje sfere može se izračunati pomoću sljedeće formule:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
gdje je h vrijednost=4, 6, 6, 10 ili 10. Omjer opisanog i upisanog radijusa je simetričan u odnosu na p i q. Toizračunato po formuli:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetrija poliedara
Simetrija pravilnih poliedara uzrokuje glavni interes za ova geometrijska tijela. Pod njim se podrazumijeva takvo kretanje tijela u prostoru, koje ostavlja isti broj vrhova, lica i ivica. Drugim riječima, pod efektom transformacije simetrije, ivica, vrh, lice ili zadržava svoj prvobitni položaj ili se pomiče na prvobitni položaj drugog ruba, vrha ili lica.
Elementi simetrije pravilnih poliedara karakteristični su za sve vrste ovakvih geometrijskih tijela. Ovdje govorimo o identičnoj transformaciji koja ostavlja bilo koju tačku u prvobitnom položaju. Dakle, kada rotirate poligonalnu prizmu, možete dobiti nekoliko simetrija. Bilo koji od njih se može predstaviti kao proizvod refleksije. Simetrija koja je proizvod parnog broja refleksija naziva se prava linija. Ako je proizvod neparnog broja refleksija, onda se naziva inverznim. Dakle, sve rotacije oko prave su direktne simetrije. Svaki odraz poliedra je inverzna simetrija.
Da bismo bolje razumjeli elemente simetrije pravilnih poliedara, možemo uzeti primjer tetraedra. Svaka ravna linija koja će prolaziti kroz jedan od vrhova i centar ove geometrijske figure također će proći kroz centar lica nasuprot njemu. Svaki od okreta od 120° i 240° oko linije je množina.simetrija tetraedra. Pošto ima 4 vrha i 4 lica, postoji samo osam direktnih simetrija. Bilo koja od linija koja prolazi kroz sredinu ivice i središte ovog tijela prolazi kroz sredinu njegove suprotne ivice. Svaka rotacija za 180°, koja se zove pola okreta, oko prave linije je simetrija. Pošto tetraedar ima tri para ivica, postoje još tri direktne simetrije. Na osnovu prethodno navedenog, možemo zaključiti da će ukupan broj direktnih simetrija, uključujući identičnu transformaciju, dostići dvanaest. Tetraedar nema druge direktne simetrije, ali ima 12 inverznih simetrija. Dakle, tetraedar karakteriziraju ukupno 24 simetrije. Radi jasnoće, možete napraviti model pravilnog tetraedra od kartona i osigurati da ovo geometrijsko tijelo zaista ima samo 24 simetrije.
Dodekaedar i ikosaedar su najbliži sferi tijela. Ikosaedar ima najveći broj lica, najveći diedarski ugao i može biti najčvršće pritisnut uz upisanu sferu. Dodekaedar ima najmanji ugaoni defekt, najveći čvrsti ugao na vrhu. Svoju opisanu sferu može ispuniti maksimalno.
Poliedari
Uobičajeni neumotani poliedri, koje smo svi lepili u detinjstvu, imaju mnogo koncepata. Ako postoji kolekcija poligona, čija je svaka strana identificirana samo sa jednom stranom poliedra, tada identifikacija strana mora ispuniti dva uslova:
- sa svakog poligona, možete preći preko poligona koji imajuidentificirana strana;
- identificirane strane moraju imati istu dužinu.
To je skup poligona koji zadovoljavaju ove uslove koji se naziva razvoj poliedra. Svako od ovih tijela ima nekoliko njih. Tako, na primjer, kocka ih ima 11.
