U mnogim područjima svakodnevnog života, geometrija pomaže ljudima da odgovore na važna pitanja i rješavaju životne probleme. Prije najmanje 4 hiljade godina, ovo znanje je već korišteno, na primjer, u starom Egiptu za upravljanje zemljištem. A danas je mnogim profesijama, od modnih dizajnera do arhitekata, potrebno osnovno znanje geometrije da bi znali kako izračunati površinu.
Površina tijela i njegova površina
Ovo je mjera koliko prostora ima unutar ravnog oblika. Općenito, površina je zbir svih površina geometrijskih oblika koji pokrivaju površinu objekta. Izračunavanje površine tijela često je potrebno u svakodnevnom životu, na primjer, da biste saznali koliko boje trebate kupiti za prekrivanje zida ili škriljevca za popravku krova kuće.
Ljudi su odavno naučili da određuju površinu ravnih geometrijskih oblika pomoću metode mreže. Sastoji se u činjenici da je skalirana mreža od najjednostavnijihkvadrata, na primjer, 1x1 cm Nakon toga možete lako izračunati površinu kvadrata tako što ćete prebrojati broj kvadrata mreže unutar obrasca. U ovom slučaju, svaki kvadrat mreže je širok 1 cm i visok 1 cm, a površina ovog kvadrata mreže je jedan kvadratni centimetar.
Korišćenje mreže za brojanje kvadrata u obliku je vrlo jednostavan način za određivanje površine, ali se ne može koristiti za određivanje površine složenih oblika. Površina tako složenih objekata može se izračunati pomoću jednostavnih matematičkih formula. Najjednostavniji i najčešće korišteni proračuni u životu su površine kvadrata i pravougaonika, a morate znati kako izračunati površinu u metrima.
Često stvarni proračuni mogu biti složeniji. Na primjer, tipičan tlocrt za sobu ne mora biti jednostavan pravougaonik ili kvadrat. U ovom slučaju, prije izračunavanja ukupne površine, morate izmjerenu složenu površinu podijeliti na nekoliko jednostavnih geometrijskih oblika.
Jednostavna kalkulacija pravougaonika
Ako pažljivo pogledate okolo, možete vidjeti mnogo primjera pravougaonika. Po definiciji, pravougaonik je četvorostrani poligon čiji su uglovi pod pravim uglom od 90 stepeni. Izračunavanje površine tijela pravokutnika jednostavna je matematička operacija koju osoba najčešće koristi u svakodnevnom životu. Zašto je važno znati formulu površine? Mnogi objekti i okruženja koji okružuju osobu imajupravokutnog oblika: kuća, zidovi, pod, krov. I vrlo često morate znati njihovo područje za izgradnju ili popravku.
Ako pravougaonik ima dužinu b i širinu h, površinu S možemo pronaći množenjem širine sa njegovom dužinom. Stoga: S=bxh.
Primjer. Kako izračunati površinu pravokutnika ako su poznate strana i širina, na primjer, dužina je 4 cm, a širina 3 cm, tada: S=4x3=12.
Odgovor: 12 cm2.
Kvadrat je vrsta pravougaonika sa jednakim uglovima i stranicama.
S=bxb=b2.
Primjer. Ako kvadrat ima stranice od 3 cm, možemo pronaći S kvadrirajući vrijednost stranice. Dakle, imamo: S=3h3=9.
Odgovor: 9 cm2.
formule paralelograma
Paralelogram je četvorostrani poligon sa dva para paralelnih stranica iste dužine. Po definiciji, pravougaonik je takođe vrsta paralelograma, ali sa jednakim uglovima. Površina paralelograma se izračunava na isti način kao i za pravougaonik (visina × širina), ali je važno shvatiti da visina ne znači dužinu vertikalnih stranica, već razmak između stranica.
Iz slike se može vidjeti da je visina rastojanje između dvije paralelne strane paralelograma, smještene pod pravim uglom između njih. S=ADxh. S=bxh, gdje je AD=b - osnova, h - visina.
Primjer. Ako paralelogram ima osnovu od 3 cm i visinu od 2 cm, tada je površina S jednaka umnošku osnove i visine. Dakle, imamo: S=3h2=6.
Odgovor: 6 cm2.
Trapezoidna baza
Razmotrimo kako pravilno izračunati površinu trapeza. Trapez je četverostrani mnogokut s jednim parom paralelnih stranica. Ako su dvije neparalelne stranice iste dužine, oblik se naziva jednakokraki ili pravilan trapez. Ako neparalelne stranice imaju različite dužine, to se naziva nejednakokračnim. Međutim, uprkos ovoj dodatnoj složenosti u definiciji, površina nepravilnog trapeza može se izračunati pomoću jednostavne formule.
Mjerenja za izračunavanje površine trapeza:
- Poravnajte ravnu ivicu kutomjera duž kraće od dvije paralelne stranice.
- Koristite kutomjer da nacrtate pravu okomitu od osnove trapeza sve do suprotne paralelne strane.
- Izmjerite visinsku udaljenost pomoću ravnala.
- Izmjerite dužinu kraće paralelne stranice.
- Izmjerite dužinu duže paralelne strane.
- Da biste pronašli površinu trapeza, prvo morate izračunati prosječnu vrijednost njegove dvije paralelne strane: (a+b)/2.
- Površina jednakokrakog (ili bilo kojeg) trapeza jednaka je proizvodu prosječne dužine osnove i vrha na visinu.
- Trapezoidna površina: S=1/2×h×(a + b).
Imajte na umu da je visina trapeza uvijek okomita na osnovu, baš kao i visina paralelograma. Primjer: a=3cm, b=5cm, h=4cm S=4x(3+5)/2=16.
Odgovor: 16 cm2.
Vrste trouglova
Trougao je poligon koji ima tri strane i može se klasifikovati u sledeće tipove:
- Jednakostranični trougao ima jednake stranice i jednake uglove.
- Jednakokraki trougao ima dvije jednake stranice i dva jednaka ugla.
- Skalirani trougao ima tri nejednake stranice i tri nejednaka ugla.
- Pravougli trougao ima jedan pravi ugao od 90 stepeni.
- Oštri trougao ima sve uglove manje od 90 stepeni.
- Tupougao trokut ima jedan ugao veći od 90 stepeni.
Površina bilo kojeg trougla je određena formulama.
1. Kako izračunati površinu trokuta ako znate visinu i osnovu trokuta:
- S=1⁄2×a×h, gdje je: h visina, a osnova.
- S=1⁄2xa×b×sinα, gdje su: a, b bilo koje dvije strane, α je ugao između njih.
- S=p×r, gdje je: p=(a+b+c) / 2 - poluperimetar, a, b, c - tri strane, r - polumjer kruga.
Površina jednakostraničnog trougla:
S=a2h√3 ⁄4, gdje je a=b=c.
Površina jednakokrakog trougla:
S=1⁄4xbx√(4a2-b2).
2. Kako izračunati površinu trokuta date dvije stranice i ugao između njih:
S=1⁄2xaxbxsinC=1⁄2xbxcxsinA=1⁄2xaxcxsinB
Primjer 1: Pronađite S trougla čija je stranica 14 cm, a visina 10 cm.
Rješenje: b=14 cm, h=10 cm,A=1⁄2h14h10=70
Odgovor: 70 cm2.
Primjer 2. Nađite površinu trougla čije su stranice i ugao između njih dati na sljedeći način: a=5 cm i b=7 cm, C=45 stepeni.
Rješenje: Površina trougla=1⁄2xaxbxsin 45.
Oblast=1⁄2×5×7×0,707 (pošto sin45=0,707)
Površina=1⁄2×24, 745=12, 3725
Odgovor: 12, 3725 cm2.
Primjer 3. Pronađite površinu (u m2) jednakokračnog trougla čije su stranice 10 m, a osnova 12 m.
Rješenje: Površina jednakokračnog trougla određena je:
A=1⁄4xbx√(4a2-b2)A=1⁄4x12x√(4x(10) 2-(12)2)A=48
Odgovor: 48 m2.
Primjer 4. Pronađite površinu trougla čije su stranice 8, 9 i 11 respektivno. Sve jedinice su u metrima (m).
Rješenje: Strane a=8, b=9 i c=11. Prema Heronovoj formuli, površina trokuta se može odrediti sljedećom formulom: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). Prije svega, trebamo definirati s, što je poluperimetar trougla: s=1⁄2x(a+b+c)=1⁄2x(8+9+11)=14.
Sada, umetanjem vrijednosti poluperimetra u Heronovu formulu, možemo odrediti površinu trougla: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). A=√(14x(14-8)x(14-9)x(14-11)). A=√(1260)=35, 50
Odgovor: 35, 50 m2.
Mjerenje površine romba
Rhombus je posebna vrsta paralelograma sa jednakim stranicama i jednakimsuprotnim uglovima. Površina romba se može odrediti pomoću tri metode.
1. Metoda visine baze. Prvo odaberite bilo koju stranu kao osnovu, jer su iste dužine. Zatim odredite visinu - okomitu udaljenost od odabrane baze do suprotne strane.
Površina je proizvod ove dvije veličine i određena je formulom: S=a×h, gdje je: S površina romba, h visina romba, AB=BC=AD=DC=a je strana romba
2. dijagonalna metoda. Još jedna jednostavna formula za površinu romba kada su poznate dužine dijagonala. Površina je polovina proizvoda dijagonala.
Kao formula: S=1/2xACxBD, gdje je: S površina romba, AC je veća dijagonala, BD je manja dijagonala
3. Upotreba trigonometrije. U trigonometriji postoji zgodna formula kada su poznata dužina stranice i bilo koji ugao:
S=a2×sin α, gdje je: S površina romba, B=BC=AD=DC=a stranica romba, α je oštar ugao, β je tup kut
Kružna površina
Krug je oblik koji se sastoji od zatvorene zakrivljene linije. Svaki dio linije nalazi se na istoj udaljenosti od središta područja, što se naziva radijus. Od davnina je poznato kako se izračunava površina kruga zadanog radijusa. Površina kruga se izračunava po formuli S=πxr2, gdje je: S površina kruga, π - pi (3.1415), r - radijus kruga.
Da biste pronašli površinu kruga, uradite sljedeće. Zapišite dati polumjer ili veličinu prečnika kao r ili drespektivno. Kako izračunati površinu kruga s obzirom na prečnik? Uopće nije teško, potrebno je izračunati polumjer dijeljenjem promjera sa 2, a podatke pomnožiti pomoću kalkulatora ili ručno. Vaš odgovor će biti u kvadratnim jedinicama.
Problem: Pronađite površinu kruga poluprečnika 10 cm.
Rješenje: Imamo poluprečnik kružnice=10 cm. Površina kružnice=3, 1416×10×10=314, 16.
Odgovor: 314, 16 cm2.
Pronađi površinu kruga prečnika 15 cm.
Rješenje: Imamo prečnik kruga=15 cm Radijus=15/2=7,5 cm Površina kruga=3, 14x7, 5x7, 5=176, 625=176, 63 (zaokružiti na 2 znaka nakon zarez).
Odgovor: 176,63 cm2.
Jednostavni geometrijski oblici krovova
Prije nego što počnete sa krovopokrivačkim radovima, morate znati kako izračunati površinu krova kako biste odredili koliko je materijala potrebno. Njegovu količinu uvijek treba uzeti s marginom i dodati najmanje 10 posto ukupne površine krova kako bi se uračunao građevinski otpad.
Prije proračuna, krovna šema je podijeljena na jednostavne geometrijske oblike, u našem primjeru to su dva trapeza i dva trokuta. Kako izračunati površinu krova za trapezoidne elemente? Površina se računa prema sljedećoj formuli: S=(a+b)xh/2, gdje je: a - širina donjeg prevjesa - 10 m, b - širina duž grebena - 7 m, h - visina - 5 m.
Za trouglaste elemente primenjuje se formula: S=axh/2, gde je: a - širina kosine duž donjeg prepusta - 7 m, h - visina kosine - 3 m.
Narudžba za mjerenje:
- Izmjerite dužinu, širinu ivisina svakog geometrijskog oblika krova, uključujući vjetrobranske prozore. Ove informacije mogu biti dostupne u originalnom planu izgradnje kuće, ili ako je površina krova relativno niska i ravna, možete je sami izmjeriti. Ako sam vlasnik kuće ne može bezbedno da se popne na krov, proračun se može izvršiti prema spoljnim merama zgrade.
- Pomnožite dužinu i širinu svake trouglaste ili trapezoidne ravni posebno.
- Izračunajte površinu za simetrične trokutaste ravni množenjem dužine osnove trougla (najduže strane) sa njegovom visinom (razdaljinom od sredine najduže strane do suprotnog ugla).
- Zatim podijelite sa 2 da dobijete rezultat u kvadratnim metrima. S=axh/2=7h3/2=10,5 m2.
- Izračunajte površinu za trapez tako što ćete pomnožiti širinu donjeg prevjesa plus širinu na grebenu njegovom visinom (razdaljina od sredine najduže strane do suprotnog ugla).
- Zatim podijelite ukupan iznos sa 2 da dobijete rezultat u kvadratnim metrima.
- Pomnožite površinu sa 0,1 da biste dobili doplatu od 10 posto za zalihe krovnog materijala S=(a+b)xh/2=(10+7)5/2=42,5m2.
- Dodaj površine svih oblika zajedno. S=10, 5+10, 5+42, 5+42, 5=106m2.
- Rezultat je ukupna površina krova od 106 m2, sa marginom od 116 m2.
Instrumentalna mjerenja kod kuće
Da biste izmjerili površinu kuće, trebat će vam alati za vrlo precizne proračune koji mogu predstavljati osnovuza popravke, kupoprodaju ili osiguranje kuće. Prije nego što izračunate površinu, trebate uzeti mjernu traku, olovku i bilježnicu na kojoj ćete nacrtati najjednostavniji dijagram plana kuće. Može se uzeti iz pasoša programera ili drugih projektnih dokumenata. S potonjim izvorom morate biti oprezni, naznačene brojke možda neće uvijek biti točne, na primjer, neke popravke možda neće biti uzete u obzir u njima. Stoga bi bilo ispravnije da sami izmjerite površinu.
Kako izračunati površinu kuće ručno? Ako trebate ručno izmjeriti površinu poda, najbolje je izmjeriti vanjske zidove, ne zaboravljajući različite građevinske udubljenja, pomoćne prostorije, gornje etaže, pojedinačne zgrade ili garaže. Kada se izvrše jednostavna osnovna mjerenja, površina se izračunava množenjem dužine kuće sa širinom.
U zavisnosti od oblika plana izgradnje, možda će biti potrebno da ga razbijete na jednostavne geometrijske oblike. U ovom primjeru, kuća je dimenzija 9 metara sa 12 metara, što nam daje 108 kvadratnih metara. Garaža je 6 metara sa 3 metra, što je 18 kvadratnih metara, ukupna površina je 126 kvadratnih metara.
Mjere poda prije popravke
Kako izračunati površinu poda prije izvođenja popravki, kao što je zamjena linoleuma ili farbanje? Za kvadratnu ili pravokutnu sobu, prvo ćete morati izmjeriti dužinu i širinu prostorije. Zatim pomnožite dužinu i širinu, dobijamo dužinu x širinu=površina. Dakle, ako je prostorija široka 3 metra i duga 5 metara, ukupna površinabit će 15 kvadratnih metara.
Ovo mjerenje se može koristiti za izračunavanje potrebne količine m altera za pločice, zaptivača, linoleuma koje vlasnik planira koristiti za svoj projekat. Da biste izračunali površinu za odabir materijala, obično morate dodati faktor sigurnosti od 10%: samo pomnožite površinu sa 1, 1, a zatim zaokružite na cijeli broj.
U primeru gde je ukupna površina 15m2, moraćete da naručite dodatne pločice i m alter za 16,5 kvadratnih metara. Ako soba nije pravokutna, morate je podijeliti na dva ili više elementarnih geometrijskih oblika da biste izračunali ukupnu površinu.
Kalkulator nepravilnog oblika
Veoma često meren prostor ima veoma složen oblik, koji se ne može uvek razložiti na jednostavne elemente.
Da biste lako odredili takvo područje, trebali biste koristiti internetsku aplikaciju SketchAndCalc. To je kalkulator površine za nepravilne oblike za bilo koji oblik slike. Ovo je jedini kalkulator površine koji može izračunati na osnovu učitanih slika, ima jedinstvenu funkciju koja omogućava korisniku da postavi skalu za crtanje bilo koje slike prije crtanja perimetra. Tako se uglovi ili krive nepravilne figure lako izračunavaju.
Jednostavno rečeno, ako postoji slika za učitavanje ili adresa mape za pretraživanje, možete izračunati površinu nepravilnog oblika, bez obzira koliko je složen, samo crtanjemperimetar područja. Kalkulator može čak i zbrojiti višestruke proračune površine zajedno crtanjem slojeva. Nakon izračunavanja prve površine, možete dodati novi sloj za crtanje, koji vam omogućava da izvršite neograničen broj proračuna površine.
Rezultati kalkulatora površine su prikazani u inčima i metrima, povećavajući njegovu korisnost i eliminišući potrebu za konverzijom. Ovo, zajedno sa preciznim alatima za crtanje i zumiranje, osigurava da se površine svakog nepravilnog oblika precizno izračunaju. Takođe može postaviti pravilne poligone sa fiksnim uglovima i preciznim linijama.
Ograničena alatka za uzorke hvata se za uobičajene uglove, a dužina linija se može ručno uređivati pomoću tastature. Aplikacija je korisna ako površina koja se mjeri ima ravnu stranu ili dužinu. Još jedna jedinstvena karakteristika SketchAndCalc TM je da ima napredni alat za crtanje krivulja za nepravilne oblike. Neke aplikacije za kalkulator područja vam omogućavaju pretraživanje po mapi.
SketchAndCalc to radi vrlo precizno koristeći traženje geografske dužine i širine. Bilo da je površina koja se mjeri na poljoprivrednom zemljištu ili na moru, korisnik će potrošiti manje vremena na traženje, a više na izračunavanje površine. Ovo je univerzalni uslužni program koji se koristi u mnogim industrijama, u građevinarstvu, vrtlarstvu. Koriste ga i entuzijasti za poboljšanje svog doma i lokalnog područja. Pronađen je i kalkulator pejzaža ili kalkulator površine zemljištanjegovi korisnici među geodetima. Sada znaju kako brzo i jednostavno izračunati površinu parcele.
Međutim, pored ovih uobičajenih aplikacija, mnogi ljudi koji rade u obrazovanju, medicini, nauci i istraživanju moraju izračunati površinu nepravilnih oblika, kao što su ćelijske membrane ili drugi objekti koji se nalaze u biologiji, i uživaju u korištenju ovu aplikaciju.
Za primjenu matematike u svakodnevnom životu nije dovoljno znati izbrojati jedan plus jedan. Bitan aspekt okruženja su geometrijske strukture, odnosno predstavljanje svakodnevnih predmeta u pravougaonom, kvadratnom, okruglom ili trouglastom obliku. I morate biti u stanju izračunati potrebnu površinu.
Pored toga, geometrijski oblici se takođe koriste u konstrukciji dijagrama, dijagrama, prezentacija. Zato je toliko važno biti u stanju da izvršite razne proračune, uključujući i izračunavanje površine.
