Vjerovatno je pojam izvedenice svima poznat još od škole. Studenti obično imaju poteškoća da shvate ovu, bez sumnje, veoma važnu stvar. Aktivno se koristi u različitim oblastima života ljudi, a mnoga inženjerska razvoja bila su zasnovana upravo na matematičkim proračunima dobijenim pomoću derivata. Ali prije nego što pređemo na analizu šta su derivati brojeva, kako ih izračunati i gdje su nam korisni, zaronimo u istoriju.
Historija
Koncept derivacije, koji je osnova matematičke analize, otkrio je (bolje bi bilo reći "izumio", jer nije postojao u prirodi kao takav) od strane Isaka Njutna kojeg svi poznajemo od otkrića zakona univerzalne gravitacije. On je prvi primijenio ovaj koncept u fizici da poveže prirodu brzine i ubrzanja tijela. I mnogi naučnici još uvijek hvale Newtona za ovaj veličanstveni izum, jer je on zapravo izmislio osnovu diferencijalnog i integralnog računa, u stvari, osnovu čitave oblasti matematike zvane "račun". Da je u to vrijeme Nobelovu nagradu, Newton bi je sa velikom vjerovatnoćom dobio nekoliko puta.
Ne bez drugih velikih umova. Osim Newtonatakvi eminentni matematički geniji kao što su Leonhard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz radili su na razvoju derivacije i integrala. Zahvaljujući njima, dobili smo teoriju diferencijalnog računa u obliku u kojem postoji do danas. Inače, upravo je Leibniz otkrio geometrijsko značenje derivacije, za koje se pokazalo da nije ništa drugo do tangenta nagiba tangente na graf funkcije.
Šta su derivati brojeva? Ponovimo malo šta smo prošli u školi.
Šta je derivat?
Ovaj koncept se može definirati na nekoliko različitih načina. Najjednostavnije objašnjenje je da je derivacija stopa promjene funkcije. Zamislite graf neke funkcije y od x. Ako nije ravno, onda ima neke krivulje na grafikonu, periode porasta i pada. Ako uzmemo neki beskonačno mali interval ovog grafa, to će biti pravolinijski segment. Dakle, omjer veličine ovog beskonačno malog segmenta duž y koordinate prema veličini duž koordinate x bit će izvod ove funkcije u datoj tački. Ako posmatramo funkciju u cjelini, a ne u određenoj tački, onda ćemo dobiti funkciju derivacije, odnosno određenu ovisnost y od x.
Osim toga, pored fizičkog značenja derivacije kao brzine promjene funkcije, postoji i geometrijsko značenje. Sada ćemo pričati o njemu.
Geometrijski smisao
Derivati brojeva sami po sebi predstavljaju određeni broj, koji, bez pravilnog razumijevanja, ne nosinema svrhe. Ispada da derivacija ne pokazuje samo brzinu rasta ili smanjenja funkcije, već i tangentu nagiba tangente na graf funkcije u datoj tački. Nije baš jasna definicija. Hajde da ga detaljnije analiziramo. Recimo da imamo graf funkcije (zbog interesa, uzmimo krivu). Ima beskonačan broj tačaka, ali postoje oblasti u kojima samo jedna tačka ima maksimum ili minimum. Kroz svaku takvu tačku moguće je povući pravu koja bi bila okomita na graf funkcije u toj tački. Takva prava će se zvati tangenta. Recimo da smo ga potrošili do raskrsnice sa OX osom. Dakle, ugao dobijen između tangente i ose OX će biti određen derivacijom. Tačnije, tangenta ovog ugla će biti jednaka njemu.
Popričajmo malo o posebnim slučajevima i analizirajmo derivate brojeva.
Posebni slučajevi
Kao što smo već rekli, derivati brojeva su vrijednosti izvoda u određenoj tački. Na primjer, uzmimo funkciju y=x2. Izvod x je broj, au opštem slučaju funkcija jednaka 2x. Ako treba da izračunamo derivaciju, recimo, u tački x0=1, onda dobijamo y'(1)=21=2. Sve je vrlo jednostavno. Zanimljiv slučaj je izvod kompleksnog broja. Nećemo ulaziti u detaljno objašnjenje šta je kompleksan broj. Recimo da se radi o broju koji sadrži takozvanu imaginarnu jedinicu - broj čiji je kvadrat -1. Izračun takvog izvoda je moguć samo ako je sljedećeuslovi:
1) Moraju postojati parcijalne derivacije prvog reda realnih i imaginarnih dijelova u odnosu na Y i X.
2) Cauchy-Riemannovi uslovi povezani sa jednakošću parcijalnih izvoda opisanih u prvom paragrafu su ispunjeni.
Još jedan zanimljiv slučaj, iako nije tako komplikovan kao prethodni, je izvod negativnog broja. U stvari, svaki negativan broj može se predstaviti kao pozitivan broj pomnožen sa -1. Pa, derivacija konstante i funkcije jednaka je konstanti pomnoženoj sa derivacijom funkcije.
Biće zanimljivo naučiti o ulozi derivata u svakodnevnom životu, a o tome ćemo sada razgovarati.
Prijava
Verovatno se svako od nas barem jednom u životu uhvati kako misli da mu matematika neće biti od koristi. A tako komplikovana stvar kao što je derivat, vjerovatno nema nikakvu primjenu. U stvari, matematika je fundamentalna nauka, a sve njene plodove razvijaju uglavnom fizika, hemija, astronomija, pa čak i ekonomija. Derivat je bio početak matematičke analize, koja nam je dala mogućnost da izvlačimo zaključke iz grafova funkcija, a mi smo naučili da tumačimo zakone prirode i zahvaljujući tome ih pretvaramo u svoju korist.
Zaključak
Naravno, nije svakome potreban derivat u stvarnom životu. Ali matematika razvija logiku, koja će svakako biti potrebna. Nije uzalud što se matematika naziva kraljicom nauka: ona čini osnovu za razumijevanje drugih područja znanja.
